高阶函数

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2023-12-01

简介

高阶函数（Higher Order Function）是一种以函数为参数的函数。它们都被用于映射（mapping）、过滤（filtering）、归档（folding）和排序（sorting）表。高阶函数提高了程序的模块性。编写对各种情况都适用的高阶函数与为单一情况编写递归函数相比，可以使程序更具可读性。比如说，使用一个高阶函数来实现排序可以使得我们使用不同的条件来排序，这就将排序条件和排序过程清楚地划分开来。函数sort具有两个参数，其一是一个待排序的表，其二是定序（Ordering）函数。下面展示了按照大小将一个整数表正序排序。<函数就是（本例中的）两数的定序函数。

(sort '(7883 9099 6729 2828 7754 4179 5340 2644 2958 2239) <)
;⇒  (2239 2644 2828 2958 4179 5340 6729 7754 7883 9099)

另一方面，按照每个数末两位的大小排序可以按下面的方式实现：

(sort '(7883 9099 6729 2828 7754 4179 5340 2644 2958 2239) 
      (lambda (x y) (< (modulo x 100) (modulo y 100))))
;⇒  (2828 6729 2239 5340 2644 7754 2958 4179 7883 9099)

正如这里所演示的，像快速排序（Quick Sort）、归并排序（Merge Sort）等排序过程，将定序函数完全分离开来提高了代码的复用性。

在本节中，我将讲解预定义的高阶函数，然后介绍如何定义高阶函数。由于Scheme并不区别过程和其它的数据结构，因此你可以通过将函数当作参数传递轻松的定义自己的高阶函数。

实际上，Scheme中预定义函数的本质就是高阶函数，因为Scheme并没有定义块结构的语法，因此使用lambda表达式作为一个块。

映射

映射是将同样的行为应用于表所有元素的过程。R5RS定义了两个映射过程：其一为返回转化后的表的map过程，另一为注重副作用的for-each过程。

map

map过程的格式如下：

(map procedure list1 list2 ...)

procedure是个与某个过程或lambda表达式相绑定的符号。作为参数的表的个数视procedure需要的参数而定。

例：

; Adding each item of '(1 2 3) and '(4 5 6).
(map + '(1 2 3) '(4 5 6))
;⇒  (5 7 9)

; Squaring each item of '(1 2 3)
(map (lambda (x) (* x x)) '(1 2 3))
;⇒  (1 4 9)

for-each

for-each的格式与map一致。但for-each并不返回一个具体的值，只是用于副作用。

例：

(define sum 0)
(for-each (lambda (x) (set! sum (+ sum x))) '(1 2 3 4))
sum
;⇒  10

练习1
用map编写下面的函数：
一个将表中所有元素翻倍的函数；
一个将两个表中对应位置元素相减的函数；

过滤

尽管过滤函数并没有在R5RS中定义，但MIT-Scheme实现提供了keep-matching-items和delete-matching-item两个函数。其它实现中应该有类似的函数。

(keep-matching-items '(1 2 -3 -4 5) positive?)
;⇒  (1 2 5)

练习2
编写下列函数：
滤取（Filtering Out）出一个表中的偶数；
滤取出不满足10 ≤ x ≤ 100的数；

归档

尽管在R5RS中没有定义归档函数，但MIT-Scheme提供了reduce等函数。

(reduce + 0 '(1 2 3 4))                 ;⇒  10
(reduce + 0 '(1 2))                     ;⇒  3
(reduce + 0 '(1))                       ;⇒  1
(reduce + 0 '())                        ;⇒  0
(reduce + 0 '(foo))                     ;⇒  foo
(reduce list '() '(1 2 3 4))            ;⇒  (((1 2) 3) 4)

练习3
编写一个将表中所有元素平方的函数，然后求取它们的和，最后求和的平方根。

排序

尽管R5RS中没有定义排序函数，但MIT-Scheme提供了sort（实为merge-sort实现）和quick-sort函数。

(sort '(3 5 1 4 -1) <)
;⇒  (-1 1 3 4 5)

练习4
编写下列函数
以sin(x)的大小升序排序；
以表长度降序排序；

apply函数

apply函数是将一个过程应用于一个表（译注：将表展开，作为过程的参数）。此函数具有任意多个参数，但首参数和末参数分别应该是一个过程和一个表。虽然乍看之下不然，但这个函数的确非常方便。

(apply max '(1 3 2))      ;⇒   3
(apply + 1 2 '(3 4 5))    ;⇒  15
(apply - 100 '(5 12 17))  ;⇒  66

练习5
用apply编写练习3中的函数。

编写高阶函数

自己编写高阶函数非常容易。这里用member-if、member和fractal演示。

member-if和member

member-if函数使用一个谓词和一个表作为参数，返回一个子表，该子表的car部分即是原列表中首个满足该谓词的元素。member-if函数可以像下面这样定义：

(define (member-if proc ls)
  (cond
   ((null? ls) #f)
   ((proc (car ls)) ls)
   (else (member-if proc (cdr ls)))))

(member-if positive? '(0 -1 -2 3 5 -7))
;⇒  (3 5 -7)

接下来，member函数检查特定元素是否在表中，该函数编写如下。函数需要三个参数，其一为用于比较的函数，其二为特定项，其三为待查找表。

(define (member proc obj ls)
  (cond
   ((null? ls) #f)
   ((proc obj (car ls)) ls)
   (else (member proc obj (cdr ls)))))

(member string=? "hello" '("hi" "guys" "bye" "hello" "see you"))
;⇒  ("hello" "see you")

不规则曲线

生成像C曲线、龙曲线等不规则曲线可以通过在两个点中插入一个点来实现 which are generated by inserting a point(s) between two points according to a positioning function can be separated into two parts: a common routine to generate fractal curves and a positioning function. 。代码实现如下：

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;
;;;
;;;                frac.scm
;;;
;;;        draw fractal curves
;;;         by T.Shido
;;;       on August 20, 2005
;;;
;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

;;; 平面直角坐标系上的点通过序对来表示，其中car部分和cdr部分分别代表
;;; x坐标和y坐标。
;;; 函数_x和_y用来取得坐标，point用来建立一个点。
(define _x car)
(define _y cdr)
(define point cons)

;;; (rappend ls0 ls1)
;;; (rappend '(1 2 3) '(4 5 6)) -> (3 2 1 4 5 6)
;;;
;;; 接受两个表作为参数，将第一个表反转后与第二个表连接起来。
(define (rappend ls0 ls1)
  (let loop((ls0 ls0) (ls1 ls1))
    (if (null? ls0)
        ls1
      (loop (cdr ls0) (cons (car ls0) ls1)))))

;;; (devide p1 p2 r)
;;; dividing p1 and p2 internally by the ratio r.
(define (divide p1 p2 r)
  (point (+ (* r (_x p1)) (* (- 1.0 r) (_x p2)))
     (+ (* r (_y p1)) (* (- 1.0 r) (_y p2)))))

;;; (print-curve points fout)
;;; 将点输出至文件。将一系列点points按一行一个点得格式输出至fout代
;;; 表的文件
(define (print-curve points fout)
  (with-output-to-file fout
    (lambda ()
      (for-each
       (lambda (p)
         (display (_x p))
         (display " ")
         (display (_y p))
         (newline))
       points))))


;;; (fractal proc n points fout)
;;; 创建分型图形的高阶函数。其中，proc是定位函数，n是重复次数，
;;; points是初始点构成的表，fout是输出文件的文件名。
;;; 函数由两个叫做loop和iter的循环构成。loop对数据表做n次插入。
;;; The iter adds new points to the data list using the positioning function. In short, fractal generates curves by repeating iter for n times.
The positioning function proc takes two points as arguments and returns a list of the first point and the interpolated point.
(define (fractal proc n points fout)
  (let loop ((i 0) (points points))
    (if (= n i)
      (print-curve points fout)
      (loop
       (1+ i)
       (let iter ((points points) (acc '()))
         (if (null? (cdr points)) 
           (reverse! (cons (car points) acc))
           (iter
             (cdr points)
             (rappend (proc (first points) (second points)) acc)))))))
  'done)


;;; (c-curve p1 p2) 
;;; C-曲线的定位函数
(define (c-curve p1 p2) 
  (let ((p3 (divide p1 p2 0.5)))
    (list
     p1
     (point (+ (_x p3) (- (_y p3) (_y p2)))
        (+ (_y p3) (- (_x p2) (_x p3)))))))

;;; (dragon-curve p1 p2)
;;; 龙曲线的定位函数
(define dragon-curve 
  (let ((n 0))
    (lambda (p1 p2)
      (let ((op (if (even? n) + -))
        (p3 (divide  p1 p2 0.5)))
    (set! n (1+ n))
    (list
     p1
     (point (op (_x p3) (- (_y p3) (_y p2)))
        (op (_y p3) (- (_x p2) (_x p3)))))))))


;;; (koch p1 p2)
;;; Koch曲线的定位函数
(define (koch p1 p2)
  (let ((p3 (divide p1 p2 2/3))
    (p4 (divide p1 p2 1/3))
    (p5 (divide p1 p2 0.5))
    (c  (/ (sqrt 3) 2)))
    (list
     p1
     p3
     (point (- (_x p5) (* c (- (_y p4) (_y p3))))
        (+ (_y p5) (* c (- (_x p4) (_x p3)))))
     p4)))

下面的代码演示了如何生成分型曲线。源代码在这里。使用之前请先编译，以节省计算时间。

(compile-file "frac.scm")
(load "frac")

;; C-Curve
(fractal c-curve 14 '((0 . 0) (2 . 3)) "c14.dat")
;Value: done

;; Dragon-Curve
(fractal dragon-curve 14 '((0 . 0) (1 . 0)) "d14.dat")
;Value: done

;; Koch-Curve
(fractal koch 5 '((0 . 0) (1 . 0)) "k5.dat")
;Value: done

X坐标和Y坐标都存储在名字形如*.dat的文件中。你可以使用你喜欢的制图程序来绘制。图表1-3都是用gnuplot绘制的。

练习 6
自己实现keep-matching-items。
自己实现map。接受不止一个表作为参数可能有点困难。剩余的参数是通过带点得序对(.)来定义的。其cdr部分以表的形式传递给函数。例: my-list
(define (my-list . x) x)
多说一句，你需要apply函数。

小结

本章中，我讲解了高阶函数。正如在生成分形图形体现的那样，高阶函数增强了模块化程度。你可以很容易地定义高阶函数。当你编写函数时，更要在乎将其实现为更抽象的高阶函数，这样可以让你的代码能够复用（reusable）。

在下一章节中，我会介绍IO。

习题解答

答案1

; 1
(define (double ls)
  (map (lambda (x) (* x 2)) ls))

; 2
(define (sub ls1 ls2)
  (map - ls1 ls2))

答案2

; 1
(define (filter-even ls)
  (keep-matching-items ls even?))
; 2
(define (filter-10-100 ls)
  (delete-matching-items ls (lambda (x) (<= 10 x 100))))

答案3

(define (sqrt-sum-sq ls)
  (sqrt (reduce + 0 (map (lambda (x) (* x x)) ls))))

答案4

; 1
(define (sort-sin ls)
  (sort ls (lambda (x y) (< (sin x) (sin y)))))

; 2
(define (sort-length ls)
  (sort ls (lambda (x y) (> (length x) (length y)))))

答案5

(define (sqrt-sum-sq-a ls)
  (sqrt (apply + (map (lambda (x) (* x x)) ls))))

答案6

; 1
(define (my-keep-matching-items ls fn)
  (cond
   ((null? ls) '())
   ((fn (car ls))
    (cons (car ls) (my-keep-matching-items (cdr ls) fn)))
   (else
    (my-keep-matching-items  (cdr ls) fn))))

; 2
(define (my-map fun . lss)
  (letrec ((iter (lambda (fun lss)
               (if (null? lss)
               '()
               (cons (fun (car lss))
                 (iter fun (cdr lss))))))
       (map-rec (lambda (fun lss)
              (if (memq '() lss)
              '()
              (cons (apply fun (iter car lss))
                (map-rec fun (iter cdr lss)))))))
    (map-rec fun lss)))
(my-map + '(1 2 3) '(10 20 30) '(100 200 300))
;⇒ (111 222 333)