柏林噪声输出范围

Question

我正在研究一些相干噪声的各种实现（我知道有库，但这主要是为了我自己的启发和好奇心）以及如何使用它，我对最初的Perlin噪声有一个问题。

根据这个经常链接的数学常见问题，输出范围将介于-1和1之间，但我不明白该值是如何在该范围内的。

据我所知，算法基本上是这样的：每个网格点都有一个相关的长度为1的随机梯度向量。然后，对于每个点，对于所有四个周围的网格点，计算随机梯度和从该网格点出发的向量的点积。然后使用一条奇特的缓和曲线和线性插值将其降到一个值。

但是，我的问题是：这些点积偶尔会超出范围，既然你最终在点积之间做了线性插值，那不意味着最终值有时会超出范围吗？

例如，假设其中一个随机向量是（sqrt（2）/2， sqrt（2）/2）（长度为1）和（0.8,0.8）（在单位正方形中），您会得到大致1.131的结果。如果在线性插值中使用该值，则生成的值完全有可能大于1。事实上，在我的直截了当的实现中，这种情况经常发生。

我错过什么了吗？

作为参考，这里是我的Java代码Vec是一个简单的类，用于执行简单的2d向量算法，fade（）是缓和曲线，lerp（）是线性插值，gradient（x，y）将该网格点的梯度作为Vec提供给您。gridSize变量以像素为单位提供网格大小（它的类型为double）：

public double getPoint(int x, int y) {
    Vec p = new Vec(x / gridSize, y / gridSize);
    Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));


    int x0 = (int)d.x,
        y0 = (int)d.x;


    double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
           d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
           d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
           d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

    double fadeX = fade(p.x - d.x),
           fadeY = fade(p.y - d.y);

    double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
           i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

    return lerp(fadeY, i1, i2);
}

编辑：以下是生成随机渐变的代码：

double theta = gen.nextDouble() * 2 * Math.PI; 
gradients[i] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));

其中，gen是java。util。随机。

Answer 1

计算点积时，可能得到的值超出-1 1范围，但在插值步骤中，最终值落在-1 1范围内。这是因为被插值的点积的距离向量指向插值轴的相反方向。在最后一次插值期间，输出将不超过-1 1范围。

Perlin噪声的最终输出范围由梯度向量的长度定义。如果我们谈论2D噪声，并且我们的目标是使输出范围为1 1，那么梯度向量的长度应该是sqrt（2）（~ 14142）。混合这些向量（1，1）（-1，1）（1，-1）（-1，-1）和（1，0）（0，1）（-1，0）（0，-1）是常见的错误。在这种情况下，最终输出范围仍将为-1 1范围，但是-0.707 0.707范围内的值将更频繁。为避免此问题，应将（1，0）（0，1）（-1，0）（0，-1）向量替换为（sqrt（2），0）（0，sqrt（2））（-sqrt（2），0）（0，-sqrt（2））。

Answer 2

您有y0=（int）d. x；，但您的意思是d. y。这肯定会影响您的输出范围，这也是您看到如此大量超出范围的值的原因。

也就是说，柏林噪声的输出范围实际上不是[-1，1]。虽然我自己对数学不是很确定（我一定是老了），但这个相当长的讨论得出，实际范围是[-sqrt（n）/2，sqrt（n）/2]，其中n是维度（在你的例子中是2）。因此，2D Perlin噪波函数的输出范围应为[-0.707，0.707]。这在某种程度上与以下事实有关，即d和插值参数都是p的函数。如果你通读了这篇讨论，你可能会找到你想要的确切解释（尤其是第7篇）。

我正在使用以下程序测试您的实现（我从您的示例中破解了这些程序，因此请原谅gridCells和gridSize的奇怪使用）：

import java.util.Random;


public class Perlin {

    static final int gridSize = 200;
    static final int gridCells = 20;
    static final Vec[][] gradients = new Vec[gridCells + 1][gridCells + 1];

    static void initializeGradient () {
        Random rand = new Random();
        for (int r = 0; r < gridCells + 1; ++ r) {
            for (int c = 0; c < gridCells + 1; ++ c) {
                double theta = rand.nextFloat() * Math.PI;
                gradients[c][r] = new Vec(Math.cos(theta), Math.sin(theta));                
            }
        }
    }

    static class Vec {
        double x;
        double y;
        Vec (double x, double y) { this.x = x; this.y = y; }
        double dot (Vec v) { return x * v.x + y * v.y; }
        Vec sub (double x, double y) { return new Vec(this.x - x, this.y - y); }
    }

    static double fade (double v) {
        // easing doesn't matter for range sample test.
        // v = 3 * v * v - 2 * v * v * v;
        return v;
    }

    static double lerp (double p, double a, double b) {
        return (b - a) * p + a;
    }

    static Vec gradient (int c, int r) {
        return gradients[c][r];
    }

    // your function, with y0 fixed. note my gridSize is not a double like yours.     
    public static double getPoint(int x, int y) {

        Vec p = new Vec(x / (double)gridSize, y / (double)gridSize);
        Vec d = new Vec(Math.floor(p.x), Math.floor(p.y));

        int x0 = (int)d.x,
            y0 = (int)d.y;

        double d00 = gradient(x0    , y0    ).dot(p.sub(x0    , y0    )),
               d01 = gradient(x0    , y0 + 1).dot(p.sub(x0    , y0 + 1)),
               d10 = gradient(x0 + 1, y0    ).dot(p.sub(x0 + 1, y0    )),
               d11 = gradient(x0 + 1, y0 + 1).dot(p.sub(x0 + 1, y0 + 1));

        double fadeX = fade(p.x - d.x),
               fadeY = fade(p.y - d.y);

        double i1 = lerp(fadeX, d00, d10),
               i2 = lerp(fadeX, d01, d11);

        return lerp(fadeY, i1, i2);

    }

    public static void main (String[] args) {

        // loop forever, regenerating gradients and resampling for range. 
        while (true) {

            initializeGradient();

            double minz = 0, maxz = 0;

            for (int x = 0; x < gridSize * gridCells; ++ x) {
                for (int y = 0; y < gridSize * gridCells; ++ y) {
                    double z = getPoint(x, y);
                    if (z < minz)
                        minz = z;
                    else if (z > maxz)
                        maxz = z;
                }
            }

            System.out.println(minz + " " + maxz);

        }

    }

}

我看到的值在理论范围内[-0.707，0.707]，尽管我通常看到的值在-0.6和0.6之间；这可能只是值分布和低采样率的结果。