理解分形，尤其是mandelbrot集

Question

为了理解我在某个地方读到的一句话，我真的在挠头：“我们在分形中放大的越多，我们最可能需要执行的迭代就越多”。

到目前为止，我还没有找到任何数学/学术论文证明这一说法。我还设法找到了一个计算mandelbrot集的小代码，取自这里：http://warp.povusers.org/Mandelbrot/但是，我们无法理解缩放是如何影响迭代的。

double MinRe = -2.0;
double MaxRe = 1.0;
double MinIm = -1.2;
double MaxIm = MinIm+(MaxRe-MinRe)*ImageHeight/ImageWidth;
double Re_factor = (MaxRe-MinRe)/(ImageWidth-1);
double Im_factor = (MaxIm-MinIm)/(ImageHeight-1);
unsigned MaxIterations = 30;

for(unsigned y=0; y<ImageHeight; ++y)
{
    double c_im = MaxIm - y*Im_factor;
    for(unsigned x=0; x<ImageWidth; ++x)
    {
        double c_re = MinRe + x*Re_factor;

        double Z_re = c_re, Z_im = c_im;
        bool isInside = true;
        for(unsigned n=0; n<MaxIterations; ++n)
        {
            double Z_re2 = Z_re*Z_re, Z_im2 = Z_im*Z_im;
            if(Z_re2 + Z_im2 > 4)
            {
                isInside = false;
                break;
            }
            Z_im = 2*Z_re*Z_im + c_im;
            Z_re = Z_re2 - Z_im2 + c_re;
        }
        if(isInside) { putpixel(x, y); }
    }
}

谢谢！

Answer 1

你问过缩放是如何影响迭代的，我典型的缩放迭代比是，如果你放大到9倍的大小，我会增加1.7次迭代。当然，九分之一的大小意味着宽度和高度都除以3。

使其更通用，实际上我在代码中使用了它

Complex middle = << calculate from click in image >>
int zoomfactor = 3;
width = width / zoomfactor;
maxiter = (int)(maxiter * Math.Sqrt(zoomfactor));
minimum = new Complex(middle.Real - width, middle.Imaginary - width);
maximum = new Complex(middle.Real + width, middle.Imaginary + width);

我发现缩放和迭代之间的关系非常好，分形中的细节在深度缩放中仍然很好，而不会在迭代中变得太快。

如果你喜欢的话，我喜欢3的zoomfactor，但是任何东西都可以。重要的是，您需要保持zoomfactor和交互增加之间的关系。

Answer 2

这不是一个科学的答案，而是一个有常识的答案。理论上，要决定一个点是否属于Mandelbrot集，您应该无限次迭代，并检查该值是否达到无穷大。这实际上是无用的，所以我们做出假设：

1. 我们只迭代了50次

放大Mandelbrot集时，第二个假设仍然有效。但是，缩放意味着增加点坐标的有效小数位数。

假设你从（0.4，-0.2i）开始。反复迭代这个值会增加使用的位数，但不会丢失有效位数。现在当你的点坐标看起来是这样的：（0.00000000045233452235, -0.00000000000943452634626i）来检查那个点是否在集合中，你需要更多的迭代来看看迭代是否会达到2，更不用说如果你使用某种浮点类型时，您将在某些缩放级别上丢失重要数字，并且必须切换到任意精度库。

尝试是你最好的朋友：-）用低迭代和高迭代计算一个集合，然后从第一个图像中减去第二个图像。您将始终看到边缘（黑色像素与彩色像素相交处）的变化，但如果您的缩放级别较高（意味着：点坐标有许多分数位数），您将获得不同的图像。