9.1.2 随机问题的建模与模拟

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2023-12-01

9.1.2 随机问题的建模与模拟

现实中有许多不确定的事件，称为随机事件。例如抛一枚硬币，结果是正面朝上还是反

面朝上，这是不确定的。研究随机事件的数学方法是统计，例如经过大量统计试验可以得出结论：抛硬币时正面朝上和反面朝上的可能性是相等的，各占 50%。注意，说硬币正面朝上和反面朝上的可能性各占 50%，并不意味着抛硬币试验将得到“正，反，正，反，…” 的结果，完全有可能出现一连串的正面或一连串的反面。

既然现实问题中存在随机事件，用计算机解决这类问题时就需要为随机事件建模，即程序能够模拟随机事件的发生。例如，假设程序 P 能够模拟抛硬币并显示每次抛硬币的结果（“正”或“反”），则 P 应该具有这样的特性：每一次显示的结果是不可预测的，但多次运行 P 之后“正”、“反”出现的次数应该是差不多的。可以设想 P 中有这样的语句：

if 模拟抛硬币的结果是正面: 
    print "正"
else:
    print "反"

这里 if 后面的条件必须有时为真有时为假，但无法预测每一次运行时的真假；而多次运行后，条件为真为假的次数应该基本相等。

我们知道，计算机是确定性的机器，它总是按照预定的指令行事。对于一个程序，只要程序的初始输入是一样的，那么程序的运行结果就是确定的、可预测的。就拿程序 9.1 来说，尽管它产生了看上去不可预测的数值序列，但那并非真正的随机，因为按照程序 9.1 中的数学式去计算，从相同的 x 开始必能得到完全一样的数值序列。所以，程序 9.1 所用的数学式不能用于模拟随机事件，我们需要更好的能产生随机数的方法。

随机数生成函数

计算机科学家对随机数生成问题有很成熟的研究，他们设计了一些数学公式，通过计算

这些公式就能得到随机数。不过，既然是用确定的数学公式计算出来的数值，那就不可能是数学意义上的随机，因此准确的名称实际上是“伪随机数”。伪随机数在实际应用中完全可以当作真随机数来使用，因为它具有真随机数的统计分布特性，简单地说就是“看上去”是随机的。

Python 语言提供了一个标准库模块 random，该模块中定义了若干种伪随机数生成函数。这些伪随机数生成函数的计算与模块导入的时间（精度非常高）有关，因此每次运行函数所产生的数值是不可预测的。random 模块中用得最多的随机数生成函数是 randrange 和 random。

randrange 函数生成一个给定范围内的整型伪随机数，范围由 randrange 的参数指定，具体格式和 range 函数一样。例如，randrange(1,3)随机地产生 1 或 2，randrange(1,7)返回范围 [1,2,3,4,5,6]中的某个数值，而 randrange(2,100,2)返回小于 100 的某个偶数。例如：

>>> from random import randrange
>>> for i in range(20):
print randrange(1,3),
1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1
>>> for i in range(20):
print randrange(1,7),
1 5 1 5 2 3 2 2 3 2 4 2 6 3 1 2 1 1 1 5

注意，由于试验次数较少（20 次），randrange 所生成的数值并未如我们期望的那样均匀分布，但随着试验次数的增加，会发现 randrange 产生的值都具有差不多的出现次数。

random 函数可用来生成浮点型伪随机数，确切地说，该函数生成[0,1)区间中的浮点数。

random 不需要提供参数。例如：

>>> from random import random
>>> for i in range(5):
print random()
0.35382204835
0.997559174002
0.672268961152
0.889307826404
0.246100521527

注意，random 模块名与 random 函数名恰巧相同，不要因此而误用。

模拟

有了随机数生成函数，我们就可以来模拟随机事件了。以抛硬币问题为例，前面我们给出了如下形式的代码：

if 模拟抛硬币的结果是正面: 
    print "正"
else:
    print "反"

并且指出 if 后面的条件的真假应该是不可预测、均匀分布的。

考虑 randrange(1,3)：该函数产生随机数 1 或 2，每一次调用到底生成什么值是不可预测的，并且大量调用后两个数值出现的机会是一样的。据此，randrange(1,3) == 1 正是我们所需要的条件，此条件每一次计算时的真假是随机的，但长远来看真假情形各占 50%。将这个条件代入上面的条件语句，即得

if randrange(1,3) == 1: 
    print "正"
else:
    print "反"

这样，我们就通过调用合适的随机数生成函数的方式模拟了随机事件，这种模拟方法称为蒙特卡洛方法。类似地，掷骰子也是现实中常见的随机问题，如果希望在程序中模拟掷骰子，可以这样做：

value = randrange(1,7) print "你掷出的点数是:",value

再看个例子，两个运动员打乒乓球，谁能赢呢？胜负自然取决于球员的技术水平，但又并非水平高的人必然赢，毕竟体育比赛和天时地利人和等各种因素有关。既然比赛结果有随机性，我们就可以利用蒙特卡洛方法来模拟比赛。假设 A、B 两个球员相互之间的胜率大致是 55%对 45%，那么他们打一次比赛（比赛的单位可以是 1 分、1 局或 1 盘，在此并不重要）的结果可以用如下代码模拟：

if random() &lt; 0.55: 
    print "A wins."
else:
    print "B wins."

这里，由于 random()生成的随机数均匀地分布在[0,1)区间内，所以有 55%的值落在 0.55 的左边，即 random() < 0.55 为真的可能性为 55%，为假（即 random() >= 0.55）的可能性为 45%，这就恰当地模拟了 A 和 B 的胜率。注意，random() = 0.55 时应该算作 B 赢，因为 random() 生成的随机数包含 0 但不包含 1。