数学中的错误在哪里。sqrt（）和数学。pow（）来自大数字？[副本]

Question

如果你取一个数字，取它的平方根，去掉小数点，然后把它提高到二次方，结果应该总是小于或等于原来的数字。

这在python中似乎是正确的，直到你出于某种原因在99999999999999975425上尝试它。

import math

def check(n):
    assert math.pow(math.floor(math.sqrt(n)), 2) <= n

check(99999999999999975424)  # No exception.
check(99999999999999975425)  # Throws AssertionError.

它看起来像是数学。pow（数学楼层（数学sqrt（99999999999999975425）），2）返回1e 20。

我假设这与我们在python中存储值的方式有关...一些与浮点算术相关的东西，但我不能具体解释这是如何影响这种情况的。

Answer 1

与埃文·罗斯（现已删除）的答案声明不同，这不是因为sqrt算法中的epsilon值。

大多数math模块函数将其输入转换为float和math。sqrt就是其中之一。

999999999999 75425不能表示为浮点。对于该输入，强制转换生成一个具有精确数值99999999999983616的浮点，其repr显示为9.99999998E 19：

>>> float(99999999999999975425)
9.999999999999998e+19
>>> int(_)
99999999999999983616L

最接近这个数字平方根的浮点是1000000000.0，这就是math。sqrt返回。

Answer 2

问题不在于sqrt或pow，问题在于您使用的数字大于浮点数所能精确表示的数字。标准的IEEE 64位浮点运算不能表示超过52位（加上一个符号位）的每个整数值。

尝试将您的输入转换为float，然后再转换回来：

>>> int(float(99999999999999975424))
99999999999999967232
>>> int(float(99999999999999975425))
99999999999999983616

如您所见，可表示值跳过了16384。在math.sqrt中的第一步是转换为浮动（C双），在那一刻，您的值增加了足以破坏最终结果。

短版本：float无法精确表示大整数。如果需要更高的精度，请使用decimal。