为什么是数学。sqrt（）对于大数字不正确？

Question

为什么数学模块返回错误的结果？

A = 12345678917
print 'A =',A
B = sqrt(A**2)
print 'B =',int(B)

结果

A = 12345678917
B = 12345678917

在这里，结果是正确的。

A = 123456758365483459347856
print 'A =',A
B = sqrt(A**2)
print 'B =',int(B)

结果

A = 123456758365483459347856
B = 123456758365483467538432

这里的结果是不正确的。

为什么会这样呢？

Answer 1

如果要计算真正大的数字的sqrt，并且需要精确的结果，可以使用symphy：

import sympy

num = sympy.Integer(123456758365483459347856)

print(int(num) == int(sympy.sqrt(num**2)))

Answer 2

数学模块的留档状态为"它提供对C标准定义的数学函数的访问。"它还指出“除非另有明确说明，否则所有返回值都是浮点数。”

这些加在一起意味着平方根函数的参数是一个浮点值。在大多数系统中，这意味着可以容纳8个字节的浮点值，在C语言中称为“double”。您的代码在计算平方根之前将整数值转换为这样的值，然后返回这样的值。

但是，8字节浮点值最多可以存储15到17位有效十进制数字。这就是你在结果中得到的。

如果希望平方根具有更好的精度，请使用保证整数参数具有完全精度的函数。只要做一个网络搜索，你就会找到几个。这些方法通常采用牛顿-拉斐逊方法的一种变体进行迭代，最终得到正确的答案。请注意，这比数学模块的sqrt函数要慢得多。

这是我在网上修改的一个程序。我现在无法引用消息来源。此版本也适用于非整数参数，但只返回平方根的整数部分。

def isqrt(x):
    """Return the integer part of the square root of x, even for very
    large values."""
    if x < 0:
        raise ValueError('square root not defined for negative numbers')
    n = int(x)
    if n == 0:
        return 0
    a, b = divmod(n.bit_length(), 2)
    x = (1 << (a+b)) - 1
    while True:
        y = (x + n//x) // 2
        if y >= x:
            return x
        x = y

Answer 3

因为数学。sqrt（…）首先将数字强制转换为浮点数，浮点数的尾数有限：它只能正确表示数字的一部分。所以float（A**2）不等于A**2。接下来，它计算数学。sqrt也大致正确。

大多数使用浮点运算的函数永远不会完全正确到对应的整数。浮点计算几乎本质上是近似的。

如果计算A**2，则得到：

>>> 12345678917**2
152415787921658292889L

现在，如果将其转换为浮点（…） ，一个得到：

>>> float(12345678917**2)
1.5241578792165828e+20

但是如果你现在问这两者是否相等：

>>> float(12345678917**2) == 12345678917**2
False

因此，在将其转换为浮动时，信息已经丢失。

在维基百科关于IEEE-754的文章中，您可以阅读更多关于浮点如何工作以及为什么这些是近似值的信息，IEEE-754是关于浮点如何工作的正式定义。