Polar码概述

2016年11月18日，在美国内华达州里诺召开的3GPP RAN1 #87次会议，确定Polar Code作为5GeMBB（增强移动宽带）场景下控制信道编码方案。

2008年，Erdal Arikan在国际信息论ISIT会议上首次提出了信道极化（Channel Polarization）的概念；2009年在“IEEE Transaction on Information Theory”期刊上发表了一篇长达23页的论文更加详细地阐述了信道极化，并基于信道极化给出了一种新的编码方式，名称为极化码（Polar Code）。极化码具有确定性的构造方法，并且是已知的唯一一种能够被严格证明“达到”信道容量的信道编码方法。

从代数编码和概率编码的角度来说，极化码具备了两者各自的特点。首先，只要给定编码长度，极化码的编译码结构就唯一确定了，而且可以通过生成矩阵的形式完成编码过程，这一点和代数编码的常见思维是一致的。其次，极化码在设计时并没有考虑最小距离特性，而是利用了信道联合（Channel Combination）与信道分裂（Channel Splitting）的过程来选择具体的编码方案，而且在译码时也是采用概率算法，这一点比较符合概率编码的思想。

对于长度为 N=2n N=2n（ n n为任意正整数）的极化码，它利用信道 W W的N个独立副本，进行信道联合和信道分裂，得到新的N个分裂之后的信道 {W(1)N,W(2)N,…,W(N)N} {WN(1),WN(2),…,WN(N)}。随着码长N的增加，分裂之后的信道将向两个极端发展：其中一部分分裂信道会趋近于完美信道，即信道容量趋近于1的无噪声信道；而另一部分分裂信道会趋近于完全噪声信道，即信道容量趋近于0的信道。假设原信道 W W的二进制输入对称容量记作 I(W) I(W)，那么当码长N趋近于无穷大时，信道容量趋近于1的分裂信道比例约为 K=N×I(W) K=N×I(W)，而信道容量趋近于0的比例约为 N×(1−I(W)) N×(1−I(W))。对于信道容量为1的可靠信道，可以直接放置消息比特而不采用任何编码，即相当于编码速率为 R=1 R=1；而对于信道容量为0的不可靠信道，可以放置发送端和接收端都事先已知的冻结比特，即相当于编码速率为 R=0 R=0。那么当码长 N→∞ N→∞时，极化码的可达编码速率 R=N×I(W)/N=I(W) R=N×I(W)/N=I(W)，即在理论上，极化码可以被证明是可达信道容量的。

在极化码编码时，首先要区分出N个分裂信道的可靠程度，即哪些属于可靠信道，哪些属于不可靠信道。对各个极化信道的可靠性进行度量常用的有三种方法：巴氏参数（Bhattacharyya Parameter）法、密度进化（Density Evolution，DE）法和高斯近似（Gaussian Approximation）法：

1. 最初，极化码采用巴氏参数 Z(W) Z(W)来作为每个分裂信道的可靠性度量， Z(W) Z(W)越大表示信道的可靠程度越低。当信道 W W是二元删除信道（Binary Erasure Channel，BEC）时，每个 Z(W(i)N) Z(WN(i))都可以采用递归的方式计算出来，复杂度为 O(NlogN) O(Nlog⁡N)。然而，对于其他信道，如二进制输入对称信道（Binary-input Symmeric Channel，BSC）或者二进制输入加性高斯白噪声信道（Binary-input Additive White Gaussian Channel，BAWGNC）并不存在准确的能够计算 Z(W(i)N) Z(WN(i))的方法。
2. 因此，Mori等人提出了一种采用密度进化方法跟踪每个子信道概率密度函数（Probability Density Function，PDF），从而估计每个子信道错误概率的方法。这种方法适用于所有类型的二进制输入离散无记忆信道（Binary-input Discrete Memoryless Channel，B-DMC）信道。
3. 在大多数研究场景下，信道编码的传输信道模型均为BAWGNC信道。在BAWGNC信道下，可以将密度进化中的对数似然比（Likelihood Rate，LLR）的概率密度函数用一族方差为均值2倍的高斯分布来近似，从而简化成了对一维均值的计算，大大降低计算量，这种对DE的简化计算即为高斯近似。

参考文献：
[1] Arikan E. Channel polarization: A method for constructing capacity-achieving codes[C]// IEEE International Symposium on Information Theory. IEEE, 2008:1173-1177.
[2] Arikan E. Channel Polarization: A Method for Constructing Capacity-Achieving Codes for Symmetric Binary-Input Memoryless Channels[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2008, 55(7):3051-3073.
[3] 陈凯. 极化编码理论与实用方案研究[D]. 北京邮电大学, 2014.