Scipy优化算法

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2023-03-14

scipy.optimize包提供了几种常用的优化算法。该模块包含以下几个方面 -

使用各种算法(例如BFGS，Nelder-Mead单纯形，牛顿共轭梯度，COBYLA或SLSQP)的无约束和约束最小化多元标量函数(minimize())
全局(蛮力)优化程序(例如，anneal()，basinhopping())
最小二乘最小化(leastsq())和曲线拟合(curve_fit())算法
标量单变量函数最小化(minim_scalar())和根查找(newton())
使用多种算法(例如，Powell，Levenberg-Marquardt混合或Newton-Krylov等大规模方法)的多元方程系统求解(root)

多变量标量函数的无约束和约束最小化

minimize()函数为scipy.optimize中的多变量标量函数提供了无约束和约束最小化算法的通用接口。为了演示最小化函数，考虑使NN变量的Rosenbrock函数最小化的问题 -

这个函数的最小值是0，当xi = 1时达到。

Nelder–Mead单纯形算法

在下面的例子中，minimize()例程与Nelder-Mead单纯形算法(method ='Nelder-Mead')一起使用(通过方法参数选择)。参考下面的例子。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

def rosen(x):

x0 = np.array([1.3, 0.7, 0.8, 1.9, 1.2])
res = minimize(rosen, x0, method='nelder-mead')

print(res.x)

上述程序将生成以下输出 -

[7.93700741e+54  -5.41692163e+53  6.28769150e+53  1.38050484e+55  -4.14751333e+54]

简单算法只需要函数评估，对于简单的最小化问题是一个不错的选择。但是，由于它不使用任何梯度评估，因此可能需要较长时间才能找到最小值。

另一种只需要函数调用来寻找最小值的优化算法就是鲍威尔方法，它可以通过在minimize()函数中设置method ='powell'来实现。

　最小二乘

求解一个带有变量边界的非线性最小二乘问题。给定残差f(x)(n个实变量的m维实函数)和损失函数rho(s)(标量函数)，最小二乘法找到代价函数F(x)的局部最小值。看看下面的例子。

在这个例子中，Rosenbrock函数的最小值不受自变量的限制。

#Rosenbrock Function
def fun_rosenbrock(x):
   return np.array([10 * (x[1] - x[0]**2), (1 - x[0])])

from scipy.optimize import least_squares
input = np.array([2, 2])
res = least_squares(fun_rosenbrock, input)

print (res)

请注意，我们只提供残差的向量。该算法将成本函数构造为残差的平方和，这给出了Rosenbrock()函数。确切的最小值是x = [1.0,1.0]。

上述程序将生成以下输出 -

active_mask: array([ 0., 0.])
      cost: 9.8669242910846867e-30
      fun: array([ 4.44089210e-15, 1.11022302e-16])
      grad: array([ -8.89288649e-14, 4.44089210e-14])
      jac: array([[-20.00000015,10.],[ -1.,0.]])
   message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
      nfev: 3
      njev: 3
   optimality: 8.8928864934219529e-14
      status: 1
      success: True
         x: array([ 1., 1.])

求根

让我们了解求根如何在SciPy中使用。

标量函数

如果有一个单变量方程，则可以尝试四种不同的寻根算法。这些算法中的每一个都需要预期根的时间间隔的端点(因为函数会改变符号)。一般来说，brentq是最好的选择，但其他方法可能在某些情况下或学术目的有用。

定点求解

与找到函数零点密切相关的问题是找到函数的固定点的问题。函数的固定点是函数评估返回点的点:g(x)= x。显然，gg的不动点是f(x)= g(x)-x的根。等价地，ff的根是g(x)= f(x)+ x的固定点。例程fixed_point提供了一个简单的迭代方法，使用Aitkens序列加速度来估计gg的固定点，如果给出起点的话。

方程组
使用root()函数可以找到一组非线性方程的根。有几种方法可供选择，其中hybr(默认)和lm分别使用Powell的混合方法和MINPACK中的Levenberg-Marquardt方法。

下面的例子考虑了单变量超越方程。

其根可以求解如下 -

import numpy as np
from scipy.optimize import root
def func(x):
   return x*2 + 2 * np.cos(x)
sol = root(func, 0.3)
print (sol)

执行上面示例代码，得到以下结果 -

fjac: array([[-1.]])
fun: array([ 2.22044605e-16])
message: 'The solution converged.'
   nfev: 10
   qtf: array([ -2.77644574e-12])
      r: array([-3.34722409])
   status: 1
   success: True
      x: array([-0.73908513])