算法导论 - 为什么如果x=b但y≠a那么x和y不是深度最深的兄弟叶结点？

Question

各位大神你们好在《算法导论第三版》16章贪心算法16.3赫夫曼树这一节中
证明引理16.2的内容中存在一句话

如上图所示
关于这一点我表示很不理解，因为即便是x等于b但y不等于a也不影响x与a，y与b的交换，又因为ab是T中深度最大的兄弟叶结点，所以xy必然也会变成T''中深度最大的兄弟叶结点。
为什么书中说如果x=b但y≠a那么在T''中x和y不是深度最深的兄弟叶结点？
恳请赐教

Answer 1

在赫夫曼树（Huffman Tree）的构造中，兄弟叶节点的深度是由它们的权重决定的。权重越大，节点在树中的深度越深。引理16.2的内容是在讨论赫夫曼树的一种性质，即构造赫夫曼树时，每次合并的兄弟叶节点都是当前所有叶节点中权重最小的两个。

现在，考虑你的问题，如果x=b但y≠a，那么意味着在T中，x（也就是b）和a是一对兄弟叶节点，而y和b不是。根据赫夫曼树的构造过程，a和b作为权重最小的两个叶节点被合并，形成了新的内部节点，设这个新节点为z。

在T''中，z现在是y的父节点。由于z的深度比a和b都要深（因为它是一个内部节点），所以y和x（或b）在T''中的深度就不再是最深的了。这是因为y和x不再是直接连接到根节点的叶节点，而是通过新的内部节点z连接。

简单来说，如果x=b但y≠a，那么在T''中，y和x将不再是深度最深的兄弟叶节点，因为x（或b）和a已经被合并成一个更深的内部节点z，而y现在是连接到z的，所以它的深度也相应地增加了。