行列式为零的N×N矩阵的（伪）逆

Question

我想取一个nxn矩阵的逆矩阵，用于我的GraphSlam。

我遇到的问题：

• <代码>。inverse（）特征库（3.1.2）不允许零值，返回NaN
• LAPACK（3.4.2）库不允许使用零行列式，但允许使用零值（使用C中使用LAPACK计算矩阵逆的示例代码）
• 由于某种原因，Seldon库（5.1.2）无法编译

是否有人成功实现了允许负值、零值和零行列式的n x n矩阵反演代码？有什么好的库（C）推荐吗？

我尝试用以下公式计算GraphSlam的ω：http://www.acastano.com/others/udacity/cs_373_autonomous_car.html

简单的例子：

[ 1 -1  0 0 ]
[ -1 2 -1 0 ]
[ 0 -1  1 0 ]
[ 0  0  0 0 ]

实例是170x170，包含0、负值和更大的正值。给出的简单示例用于调试代码。

我可以在matlab（Moore-Penrose伪逆）中计算它，但由于某种原因，我无法在C中对其进行编程。

A = [1 -1 0 0; -1 2 -1 0; 0 -1 1 0; 0 0 0 0]
B = pinv(A)
B=
[0.56   -0.12  -0.44  0]
[-0.12  0.22   -0.11  0]
[-0.44  -0.11   0.56  0]
[0  0  0   0]

对于我的应用程序，我可以（暂时）删除带有零的维度。
所以我要删除第4列和第4行。
我也可以为我的170x170矩阵做到这一点，4x4只是一个例子。

A：

[ 1 -1  0 ]
[ -1 2 -1 ]
[ 0 -1  1 ]

所以去掉第四列和第四行不会得到零行列式。但如果我的矩阵如上所示，我仍然可以有一个零行列式。当每一行或每一列的总和为零时。（我会一直在GraphSlam）

如果行列式不为零，则LAPACK解（基于Moore-Penrose逆）有效（使用C中使用LAPACK计算矩阵逆的示例代码）<但作为行列式为零的“伪逆”失败

解决方案：（全部归功于Frank Reininghaus），使用SVD（奇异值分解）
http://sourceware.org/ml/gsl-discuss/2008-q2/msg00013.html

使用：

• 零值（甚至全0行和全0列）

A ^-1：

[0.56   -0.12  -0.44]
[-0.12  0.22   -0.11]
[-0.44  -0.11   0.56]

Answer 1

你确定这是因为零/负值，而不是因为你的矩阵是不可逆的吗？

如果矩阵的行列式为非零（mathworld链接），则矩阵只有逆矩阵，并且您在问题中发布的矩阵示例具有零行列式，因此它没有逆矩阵。

这应该可以解释为什么那些库不允许你取给定矩阵的逆，但是我不能说同样的推理是否适用于你的全尺寸170x170矩阵。

Answer 2

在这种情况下，Matlab命令不会计算逆矩阵，因为矩阵具有确定零。pinv命令计算摩尔-彭罗斯伪逆pinv（A）具有inv（A）的部分但不是全部属性。

所以你在C和Matlab中做的事情是不同的！

上一页

正如我的评论。现在作为答案。你必须确保你反转可逆矩阵。这意味着

det A！=0

您的示例矩阵的行列式等于零。这不是可逆矩阵。我希望你不要试这个！

例如，如果有一整行或整列的零条目，则给定矩阵的行列式为零。

Answer 3

如果您只想解决形式Ax=B的问题（或等效计算形式A^-1*b的乘积），那么我建议您不要计算A的逆或伪逆，而是使用适当的秩揭示求解器直接求解Ax=b。例如，使用Eigen：

x = A.colPivHouseholderQr().solve(b);
x = A.jacobiSvd(ComputeThinU|ComputeThinV).solve(b);