numpy：零行列式矩阵可能被反转？

Question

根据定义，行列式为零的方阵不应可逆。然而，出于某种原因，在生成协方差矩阵后，我成功地对其求逆，但求协方差矩阵的行列式的结果是输出为0.0。

可能会出现什么问题？我应该不信任行列式输出，还是应该不信任逆协方差矩阵？或者两者都有？

我的代码片段：

cov_matrix = np.cov(data)
adjusted_cov = cov_matrix + weight*np.identity(cov_matrix.shape[0]) # add small weight to ensure cov_matrix is non-singular
inv_cov = np.linalg.inv(adjusted_cov) # runs with no error, outputs a matrix
det = np.linalg.det(adjusted_cov) # ends up being 0.0

Answer 1

矩阵的数值反演不涉及行列式的计算。（Cramer的逆公式不适用于大型矩阵。）因此，行列式的计算结果为0（由于浮点精度不足）这一事实并不是矩阵求逆例程的障碍。

根据BobCha87的评论，这里是一个简化的测试用例（Python 3.4控制台，numpy导入为np）

A = 0.2*np.identity(500)
np.linalg.inv(A)

输出：主对角线上有5的矩阵，这是a的正确逆。

np.linalg.det(A)

输出：0.0，因为行列式（0.2^500）太小，无法用双精度表示。

一种可能的解决方案是一种预处理（这里，只是重新缩放）：在计算行列式之前，将矩阵乘以一个因子，使其条目平均更接近1。在我的例子中，np.linalg.det（5*A）返回1。

当然，这里使用因子5是作弊，但是np。linalg。det（3*A）也返回非零值（约1.19e-111）。如果你尝试np。linalg。det（2**k*A）对于通过适度正整数的k，您很可能会遇到一个返回非零的整数。然后您将知道原始矩阵的行列式大约是输出的2**（-k*n）倍，其中n是矩阵大小。