求空间中给定三点的弧/圆方程(3D)

Question

给定空间(3D)中的3个点:A=(x1,y1,z1),B=(x2,y2,z2)C=(x3,y3,z3)；那么如何求经过这三点的圆（弧）的圆心和半径，即求圆方程呢？使用Python和Numpy这里是我的初始代码

import numpy as np
A = np.array([x1, y1, z1])
B = np.array([x2, y2, z2])
C = np.array([x3, y3, z3])

#Find vectors connecting the three points and the length of each vector
AB = B - A 
BC = C - B 
AC = C - A 

# Triangle Lengths
a = np.linalg.norm(AB)
b = np.linalg.norm(BC)
c = np.linalg.norm(AC)

从CounterRadius定义中，可以使用以下方法找到半径：

R = (a * b * c) / np.sqrt(2.0 * a**2 * b**2 +
                          2.0 * b**2 * c**2 +
                          2.0 * c**2 * a**2 -
                          a**4 - b**4 - c**4)

#barcyntric coordinates of center
b1 = a**2 * (b**2 + c**2 - a**2)
b2 = b**2 * (c**2 + a**2 - b**2)
b3 = c**2 * (a**2 + b**2 - c**2)

那么中心(P)的笛卡尔坐标为：

Px = (b1 * A[0]) + (b2 * B[0]) + (b3 * C[0])
Py = (b1 * A[1]) + (b2 * B[1]) + (b3 * C[1])
Pz = (b1 * A[2]) + (b2 * B[2]) + (b3 * C[2])   

但是，上面的barcyntric坐标值似乎并不正确。当用一个已知值的例子求解时，半径是正确的，但中心坐标不是。

例：对于这三点：

A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
C = np.array([11.75, 6.25, 0.0]) 

半径和中心坐标为：

R = 15.899002930062595
P = [13.4207317073, -9.56097560967, 0]

关于如何找到中心坐标有什么想法吗？

Answer 1

您的代码有两个问题。

第一个是在命名约定中。对于要保存的所有公式，A的长度边必须是与点A相对的边，对于B和B和C和C也是如此。您可以通过将它们计算为：

a = np.linalg.norm(C - B)
b = np.linalg.norm(C - A)
c = np.linalg.norm(B - A)

第二个与源码中关于外周中心的重心坐标的注释有关：不一定是齐次的。也就是说，它们不需要以任何方式归一化，你用重心坐标计算笛卡尔坐标的公式，只有当它们加起来时才有效。

幸运的是，您只需要将得到的笛卡尔坐标除以b1+b2+b3就可以得到您要得到的结果。为了提高效率，我对代码进行了一点精简，得到了您所期望的结果：

>>> A = np.array([2.0, 1.5, 0.0])
>>> B = np.array([6.0, 4.5, 0.0])
>>> C = np.array([11.75, 6.25, 0.0])
>>> a = np.linalg.norm(C - B)
>>> b = np.linalg.norm(C - A)
>>> c = np.linalg.norm(B - A)
>>> s = (a + b + c) / 2
>>> R = a*b*c / 4 / np.sqrt(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))
>>> b1 = a*a * (b*b + c*c - a*a)
>>> b2 = b*b * (a*a + c*c - b*b)
>>> b3 = c*c * (a*a + b*b - c*c)
>>> P = np.column_stack((A, B, C)).dot(np.hstack((b1, b2, b3)))
>>> P /= b1 + b2 + b3
>>> R
15.899002930062531
>>> P
array([ 13.42073171,  -9.56097561,   0.        ])