[矩阵论] 谱半径小于1，则I-A可逆

证明：

若矩阵$A$谱半径$\rho (A)<1$，则矩阵$I-A$可逆

根据谱半径与矩阵范数的关系，该命题可等价为：

若矩阵$A$的某范数$\Vert A\Vert <1$，则矩阵$I-A$可逆

用反证法：

若$I-A$不可逆，则齐次线性方程组
$$(I-P)x=0$$
有非零解$x^{\ast }$，即：
$$(I-P)x^{\ast }=0\iff x^{\ast }=A{x}^{\ast }$$

设，$\Vert .{\Vert }_v$是$C^n$上与矩阵范数$\Vert .\Vert$相容的向量范数，则：
$$\Vert x^{\ast }{\Vert }_v=\Vert A{x}^{\ast }{\Vert }_v\le \Vert A\Vert \Vert x^{\ast }{\Vert }_v$$

又$x^{\ast }$是非零解，则 $\Vert A\Vert \ge 1$ ，与已知矛盾，故而 $I-A$ 可逆