矩阵中唯一路径数

Question

我遇到的问题是：

机器人位于m x n网格的左上角。机器人只能在任何时间点向下或向右移动。机器人正试图到达网格的右下角。有多少种可能的独特路径？

我提交的代码是：

class Solution(object):
    def uniquePaths(self,m,n):

        # m : (int) rows
        # n : (int) cols

        mat = [[0] * n] * m

        for i in range(n):
            mat[0][i] = 1


        for i in range(m):
            mat[i][0] = 1

        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                mat[i][j] = mat[i - 1][j] + mat[i][j - 1]

        return mat[m - 1][n - 1]

提交后，我知道我的代码只比其他提交的代码快21%。这意味着我的代码不是最优的。出于好奇，我检查了另一份提交的文件，它比我的要快得多。

更好的解决方案是：

class Solution(object):
    def uniquePaths(self, m, n):
        p = 1
        for i in xrange(n,m+n-1):
            p *= i
        return p/self.factorial(m-1)

    def factorial(self,n):
        if n == 0:
            return 1
        return n*self.factorial(n-1)

如你所见，它的时间复杂度是线性的，而我的是二次的。但我无法理解背后的逻辑。

Answer 1

你不需要一个计算机程序。这是一个简单的组合数学问题。想象m个向右箭头和n个向下箭头。问这个问题的另一种方式是，我们可以用多少种方式排列这些箭头？我们可以从mn中选择m个点作为右箭头，所以答案是二项式的（m，mn）