使用泰勒级数加速计算

Question

在数学中，泰勒级数对于用低次多项式逼近函数是很重要的。

我想看看这样的近似如何有帮助，例如为了加快计算速度。让我们使用著名的泰勒级数：

log(1+x) = x + 0.5 * x^2 + (error term)

从道德上讲，计算2次多项式的值应该比计算log快得多。

因此，一个测试代码：

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2
f = numpy.vectorize(f)  

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000) 
    numpy.log(1 + x)
print time.time() - s          # 0.556999921799 seconds

s = time.time()
for i in range(100):
    x = numpy.random.rand(100000)
    f(x)
print time.time() - s          # arghh! 4.81500005722 seconds

为什么多项式法比实际测井慢10倍？我期待的正好相反。

PS：这个问题可能在SO和math.SE.

Answer 1

使用Python Numpy，它可能在这里和那里进行了优化，因此不可能真正对log（1x）vsx 0.5*x^2进行基准测试。所以我搬到了C。

对数的每次操作时间：19.57 ns
对数的2阶泰勒展开的每次操作的时间：3.73 ns

所以大约是x5因素！

#include <iostream>
#include <math.h>
#include <time.h>
#define N (1000*1000*100)
#define NANO (1000*1000*1000)

int main()
{
  float *x = (float*) malloc(N * sizeof(float));
  float y;
  float elapsed1, elapsed2;
  clock_t begin, end;
  int i;

  for (i = 0; i < N; i++) 
    x[i] = (float) (rand() + 1) / (float)(RAND_MAX);

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = logf(x[i]);
  end = clock();
  elapsed1 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  begin = clock();
  for (i = 0; i < N; i++) 
    y = x[i] + 0.5 * x[i] * x[i];  
  end = clock();
  elapsed2 = float(end - begin) / CLOCKS_PER_SEC / N * NANO;

  std::cout << "Time per operation with log: " << elapsed1 << " ns\n";  
  std::cout << "Time per operation with order-2 Taylor epansion: " << elapsed2 << " ns";

  free(x);

}

Answer 2

使用 numpy 的矢量化操作几乎总是比您自己的代码中的任何尝试优化都快。正如@Divakar提到的，矢量化实际上只是编写 for 循环的一种便捷方法，因此您的代码将比 numpy 的本机代码慢。

将 numpy 的优化例程替换为标准 python 代码表明您的方法速度大致相同。

import math, numpy, time


def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)

s = time.time()
for num in x:
    math.log(1 + num)
print (time.time() - s  )  

s = time.time()
for num in x:
    f(num)
print (time.time() - s)      

结果：

1.1951053142547607
1.3485901355743408

近似速度稍慢，但求幂非常昂贵。将t**2替换为t*t可以得到很好的改进，并允许近似略优于python的

1.1818947792053223
0.8402454853057861

编辑：或者，由于这里的重要教训是优化的科学库几乎可以在一周的任何一天都优于手工编码的解决方案，这是迄今为止最快的泰勒级数近似值与Numpy的矢量化操作。请注意，唯一的大变化是矢量化在近似值函数上没有调用，因此默认使用Numpy的矢量化操作。

import numpy, time

def f(t):
    return t + 0.5 * t ** 2

x = numpy.random.rand(1000000)
s = time.time()
numpy.log(1 + x)
print (time.time() - s)

s = time.time()
x = numpy.random.rand(100000)
f(x)
print (time.time() - s  )

结果：

0.07202601432800293
0.0019881725311279297

在这里，矢量化近似比Numpy的矢量化log快一个数量级。