关于JavaScript数学的问题。随机（）与基本逻辑

Question

我写了一段简单的代码来比较随机数组的差异，并发现了一些东西。。。我不太明白。

1. 我生成两个填充随机数的数组
2. 将随机数之间的差异相加
3. 打印出平均差值

我本以为结果是接近0.5的随机数，但实际上是0.3333。

为什么随机数数组位于0.3而不是0.5？

const result = document.getElementById('result');
const generateRandomNrArray = (nrNumbers) => {
	let i;
	let result = [];
	for (i = 0; i < nrNumbers; i++) {
		result.push(Math.random());
	}
	return result;
}
const getArrayDiff = (arr1, arr2) => {
  var diff = 0;
  arr1.forEach(function (v1, index) {
      diff += Math.abs(v1 - arr2[index]);
  });
  return diff;
}
const run = (nr) => {
  const arr1 = generateRandomNrArray(nr);
  const arr2 = generateRandomNrArray(nr);
  const totalDiff = getArrayDiff(arr1, arr2); 
  
  result.innerHTML = "Average difference:" + (totalDiff / nr);
}

button {font-size: 2em;}

<div id="result"></div>
<button id="run" onclick="run(1500)">Click Me</button>

Answer 1

这里有一个几何参数来说明为什么结果会收敛到1/3。

首先，让我们定义f（x，y）=abs（x-y）。我们需要证明的是，对于X和Y是均匀分布在[0,1]中的两个独立随机变量，E（X，Y）=1/3。

如果我们将函数f在3D中可视化，作为正方形[0,1]x[0,1]上的高度场，f下的体积由两个四面体组成，其底部是半单位正方形，其高度是单位高。

E（X， Y）是f下的体积。根据金字塔体积公式，两个四面体中的每一个都有体积a*h/3，其中a是它的基面积，h是它的高度。这意味着每个四面体都有体积1/2 * 1 * 1/3 = 1/6，因此E（X，Y）=2 * 1/6 = 1/3。

Answer 2

（事实上，你不是在看差异，而是在看随机数之间的绝对差异。这是有区别的。（请原谅双关语。）

如果有两个独立的均匀分布随机变量X，Y~U[0,1]，则它们的绝对差|X-Y将遵循三角形分布，期望值为1/3。一切都是应该的。这个分配结果，以及计算期望值，是概率论中相当标准的作业问题。直觉直接遵循马克的论点。

以下是绝对和非绝对差异的直方图。在左边，你可以看到更小的绝对差异有更多的质量，这降低了期望。

R代码：

set.seed(1)
xx <- runif(1e5)
yy <- runif(1e5)
par(mfrow=c(1,2))
hist(abs(xx-yy),main="|X-Y|",col="grey",xlab="")
hist(xx-yy,main="X-Y",col="grey",xlab="")

（顺便说一句，如果你有一个概率/统计问题，我们的姐妹网站交叉验证是一个很好的资源。）

Answer 3

这基本上归结为一个极限，这是有道理的。考虑0和10之间的数字组合，并计算你可以做出的各种不同。

例如，有一个组合的差值为9-（0，9）。有5个，相差5：

[0, 5],  
[1, 6], 
[2, 7], 
[3, 8], 
[4, 9]

但是有九个组合相差1：

[1, 2], 
[2, 3], 

... 
[8, 9]

0-10时，计数为：

{1: 9, 2: 8, 3: 7, 4: 6, 5: 5, 6: 4, 7: 3, 8: 2, 9: 1}

共有45种组合，这些组合的平均差异为3.6666而非5，因为它们之间的差异较小，而较大。

当您将粒度从0-10增加到0-100时，同样的模式适用。有99种组合会导致差异1，只有50种组合的差异为50，平均值为33.6666。

随着有效位数从相反方向增加到相反方向，并在0和1之间进行越来越精细的分割，您会发现与限制接近1/3的过程相同。将平均差异拉低的差异比拉低的差异小得多。对于0-1，在0.1的间隔内，您将看到9与0.1的差值，5与0.5的差值，在0.01处，将有99与0.01的差值，50与0.5的差值。当间隔接近0时，差异的平均值接近1/3。