Java编程：楼梯动态编程示例

Question

一个人正在n步的阶梯上奔跑，一次可以走1步，2步或3步。现在编写一个程序，计算孩子上楼梯的可能方式。

给出的代码如下

public static int countDP(int n, int[] map) {
 if (n<0)
   return 0;
 else if (n==0)
   return 1;
 else if (map[n]>-1)
   return map[n];
 else {
    map[n] = countDP(n-1, map) + countDP(n-2, map) + countDP(n-3, map);
    return map[n]; }
 }

我知道C和C ++，而不是JAVA。这来自《破解编码》采访书。任何人都可以解释

1. 她为什么以及如何在此处使用功能图？这里的映射是数组吗？

2. 我看不到任何将输入保存到map数组的行，但是它将如何返回某些内容？

3. 有人对此代码的C ++或C版本有想法吗？很难理解此代码。也许不是因为JAVA语法，而是因为动态编程的隐式结构。

4. 该算法的时间复杂度是多少？它应该小于O（3 ^ n）吗？

我将不胜感激。

多谢你们

Answer 1

好的，这就是代码的作用。

 `if (n<0)`
    `return 0;`

如果没有足够的剩余步骤，则不要计算。例如，如果还剩下两个步骤，但是用户尝试执行三个步骤，则它不算作可能的组合。

else if (n==0) return 1;

如果剩余步骤数与用户尝试执行的可用步骤数匹配，则可能是组合。因此，返回1，因为这是可能的组合，应将其添加到有效组合的总数中。

else if (map[n]>-1) return map[n];

这是动态编程部分。假定数组中的所有值的值为-1。因此，如果该数字大于-1，则说明已经解决了该问题，因此请从步骤号n返回组合的总数，而不是对其进行求解。

`map[n] = countDP(n-1, map) + countDP(n-2, map) + countDP(n-3, map);`

return map[n]; }

最后，这部分解决了代码。可能组合的数量等于用户迈出1步可获得的可能组合数量+用户迈出2步可获得的可能组合数量+用户迈出可获得的可能的组合数量三个步骤。

例如，假设有5个步骤

一个简单的运行看起来像：

//The number of solutions from the fifth step

countDp(5) = countDp(4)+countDp(3)+countDp(2);

//Number of solutions from the fourth step

countDP(4) = countDp(3)+countDp(2)+countDp(1);

//Number of solutions from the third step

countDp(3) = countDp(2)+countDp(1)+countDp(0);
//Number of solutions from the second step
countDp(2) = countDp(1)+countDp(0)+countDp(-1);
//Number of solutions from the first step
countDp(1) = countDp(0) + countDp(-1)+countDp(-2);
//Finally, base case
countDp(0) = 1;

countDp(-1)= 0;
countDp(-2)= 0;
countDp(1) = 1+0+0 = 1;
countDp(2) = 1+1+0 = 2;  //Dynamic programming: did not have to resolve for countDp(1), instead looked up the value in map[1]
countDp(3) = 2+1+1 = 4;  //Dynamic programming, did not have to solve for countDp(1), countDp(2), instead looked up value in map[1] and map[2]
countDp(4) = 4+2+1=7 //Dynamic programming, did not have to solve for CountDp(3),CountDp(2), CountDp(1), just looked them up in map[3],map[2],map[1]
countDp(5)=  2+4+7=13 //Dynamic programming, just used map[4]+map[3]+map[2]