最长回文子串自顶向下递归方法

Question

我试图解决Leetcode上最长的回文子串。我知道这个问题的解决方案，比如围绕中心展开或动态编程自下而上的方法。出于纯粹的教育目的，我想以自上而下的递归方式解决这个问题。我试图找到类似于这里或这里描述的解决方案。（问题略有不同）。我有这个功能：

private (int Start, int End) Longest(string s, int i, int j)

它接受搜索的字符串开始和结束位置。返回的元组是最长palindrom的开始和结束。我试图分成以下情况：

1. 如果s[i]==s[j]，则调查最长（s，i 1，j-1）
2. 调查最长（s，i 1，j）
3. 调查最长（s，i，j-1）
4. 从这三个值返回最长值（返回的开始和结束之间的最大差值）

当然，我使用元组（int， int）作为键（i和j的值）的字典来记住所有计算结果，而不是再次计算它们。

下面是完整的代码，但当我试图修复算法时，经过几次迭代后，代码非常混乱。我认为concreate代码不是很重要。

代码似乎返回了正确的结果，但在超出Leetcode的时间限制时失败。有正确的快速递归解决方案吗？我认为应该存在DP自下而上的解决方案。

代码：

private readonly IDictionary<(int, int), (int, int)> _mem = new Dictionary<(int, int), (int, int)>();

private (int Start, int End) Longest(string s, int i, int j) {
    if (i >= j) {
        return (i, j);
    }

    if (_mem.TryGetValue((i, j), out var ret)) {
        return ret;
    }

    var newI = i + 1;
    var newJ = j - 1;

    ValueTuple<int, int> removingTwo;

    if (s[i] == s[j])
    {
        removingTwo = Longest(s, newI, newJ);

        if (removingTwo.Item1 == newI && removingTwo.Item2 == newJ) {
            removingTwo.Item1--;
            removingTwo.Item2++;
        }
    }
    else {
        removingTwo = (1, 0);
    }

    var removingFirst = Longest(s, newI, j);
    var removingLast = Longest(s, i, newJ);  

    var mT = removingTwo.Item2 - removingTwo.Item1;
    var mF = removingFirst.End - removingFirst.Start;
    var mL = removingLast.End - removingLast.Start;

    var max = Math.Max(mT, mF);
    max = Math.Max(max, mL);

    ValueTuple<int, int> retVal;

    if (max == mT) retVal = removingTwo;
    else if (max == mF) retVal = removingFirst;
    else retVal = removingLast;

    _mem.Add((i, j), retVal);

    return retVal;

}

编辑：工作自下而上的解决方案（从geegsforgeegs复制）：

public string LongestPalindrome(string s) {
    if (s.Length == 0) return "";
    var table = new bool[s.Length, s.Length];
    var len = s.Length;
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        table[i,i] = true;
    }

    var start = 0;
    var max = 1;
    for (int i = 0; i < len - 1; i++) {
        if (s[i] == s[i + 1]) {
            start = i;
            max = 2;
            table[i, i+1] = true;
        }
    }

    for (int k = 3; k <= len; ++k) { 

              // Fix the starting index 
        for (int i = 0; i < len - k + 1; ++i)  
        { 
            // Get the ending index of substring from 
            // starting index i and length k 
            int j = i + k - 1; 

            // checking for sub-string from ith index to 
            // jth index iff str.charAt(i+1) to  
            // str.charAt(j-1) is a palindrome 
            if (table[i + 1, j - 1] && s[i] == s[j]) { 
                table[i,j] = true; 

                if (k > max) { 
                    start = i; 
                    max = k; 
                } 
            } 
        } 
    } 

    return s.Substring(start, max);
}

Answer 1

简单的递归解决方案，不是记忆化

 def palandrom(A,i,j):
        if i > j: 
            return ''
        elif i == j: 
            return A[i]
    
        elif A[i] == A[j]: 
            save = A[i+1 : j]
            if save == save[::-1]:
                i = len(A) #As we know rest of string are palandrome we want to make i>j condition true 

                return (A[i] + save + A[j])
    
        left = palandrom(text,i+1,j)
        right = palandrom(text,j,j+1)
        return left if len(left) > len(right) else right
    
    print(palandrom(loiol,0,4))

Answer 2

这里是Python中通过LeetCode测试的递归方法。这可能是因为他们正在寻找一个恒定的空间解。

f（i， k）返回（l， j），长度l的最大元组及其起始索引j。max在本例中正在查看返回元组的第一个元素，即l，回文的长度。

def longestPalindrome(self, s):
  def f(i, k):
    return max(
      # next iteration
      f(i - 1, 1) if k < 2 and i > 0 else (-1,-1),
      f(i - 1, 2) if k < 2 and i > 0 and s[i-1] == s[i] else (-1, -1),

      # a larger palindrome than this one
      f(i - 1, k + 2) if i > 0 and i + k < len(s) and s[i-1] == s[i + k] else (-1, -1),

      # this one
      (k, i)
    )

  (l, j) = f(len(s) - 1, 1)
  return s[j:j+l]