欧拉项目3-为什么这种方法有效？

Question

13195的主要因子为5、7、13和29。数字600851475143中最大的素因子是什么？

我用自己的方式在Euler项目上解决了这个问题，速度很慢，然后我在某人的github帐户上找到了这个解决方案。我不明白为什么它会起作用。为什么删除了许多因子，这些因子等于一个指数？有什么见解吗？

def Euler3(n=600851475143):
    for i in range(2,100000):
        while n % i == 0:
            n //= i
            if n == 1 or n == i:
                return i

Answer 1

没有人真正回答你的问题。for循环依次测试每个数字。当i是n的一个因子时，while循环的测试成功；在这种情况下，它会减少n，然后通过将i与1或n进行比较来检查是否完成。测试是一个，如果i除以n不止一次，则测试是一个（而不仅仅是if）。

虽然很聪明，但这并不是通过试除法进行整数因式分解的正常方式；如果n的系数大于100000，它也不起作用。我在我的博客上有一个解释。这是我的函数版本，它列出了n的所有因子，而不仅仅是最大的因子：

def factors(n):
    fs = []
    while n % 2 == 0:
        fs += [2]
        n /= 2
    if n == 1:
        return fs
    f = 3
    while f * f <= n:
        if n % f == 0:
            fs += [f]
            n /= f
        else:
            f += 2
    return fs + [n]

此函数分别处理2，然后只尝试奇数因子。它也不限制因子，而是在因子大于剩余的n的平方根时停止，因为在该点n必须是素数。因子是按递增顺序插入的，因此输出列表中的最后一个因子将是最大的，即您想要的因子。

Answer 2

考虑它如何求解n=20：

iteration i=2
  while true (20 % 2 == 0)
    n = n//2 = 20//2 = 10
    if (n == 1 or n == 2) false
  while true (10 % 2 == 0)
    n = n//2 = 10//2 = 5
    if (n == 1 or n == 2) false
  while false (5 % 2 == 0)
iteration i = 3
  while false (5 % 3 == 0)
iteration i = 4 
  while false (5 % 4 == 0)
iteration i = 5
  while true (5 % 5 == 0)
    n = n//5 = 5//5 = 1
    if (n == 1 or n == 5) true
      return i, which is 5, which is the largest prime factor of 20

它只是删除了一些因子，而且由于它已经删除了许多基本因子（while循环），i的许多值实际上只是白费力气。唯一有机会在循环中做某事的i的值是i的素数。n==i测试涵盖了像25这样的数是素数的平方的情况。但范围似乎有限。对于2*（100000之后的第二大素数），它不会给出正确的答案。

Answer 3

此函数通过查找其输入的连续因子来工作。它发现的第一个因素必然是质数。找到素数因子后，将其从原始数中分割出来，然后继续此过程。当我们把它们全部分开时（留下1或当前因子（i）），我们得到了最后一个（最大的）。

让我们在此处添加一些跟踪代码：

def Euler3(n=600851475143):
    for i in range(2,100000):
        while n % i == 0:
            n //= i
            print("Yay, %d is a factor, now we should test %d" % (i, n))
            if n == 1 or n == i:
                return i

Euler3()

这的输出是：

$ python factor.py
Yay, 71 is a factor, now we should test 8462696833
Yay, 839 is a factor, now we should test 10086647
Yay, 1471 is a factor, now we should test 6857
Yay, 6857 is a factor, now we should test 1

诚然，对于一般的解决方案，范围的顶部应该是n的平方根，但是对于python，调用math.sqrt返回一个浮点数，所以我认为最初的程序员是在走一条懒惰的捷径。该解决方案一般不会起作用，但对于Euler项目来说已经足够好了。

但算法的其余部分是合理的。