为什么浮点数不准确？

Question

32-bit "single precision" float: 9.19999980926513671875
64-bit "double precision" float: 9.199999999999999289457264239899814128875732421875

这样一个看似简单的数字怎么会“太大”而无法在64位内存中表达呢？

Answer 1

在大多数编程语言中，浮点数的表示方式很像科学符号：有一个指数和一个尾数（也称为意义）。一个非常简单的数字，比如9.2，实际上是这个分数：

5179139571476070*2^-49

其中指数为-49，尾数为5179139571476070。不可能用这种方式表示一些十进制数的原因是指数和尾数都必须是整数。换句话说，所有浮点数必须是整数乘以2的整数次方。

python prettyprint-override">def float_to_bin_parts(number, bits=64):
    if bits == 32:          # single precision
        int_pack      = 'I'
        float_pack    = 'f'
        exponent_bits = 8
        mantissa_bits = 23
        exponent_bias = 127
    elif bits == 64:        # double precision. all python floats are this
        int_pack      = 'Q'
        float_pack    = 'd'
        exponent_bits = 11
        mantissa_bits = 52
        exponent_bias = 1023
    else:
        raise ValueError, 'bits argument must be 32 or 64'
    bin_iter = iter(bin(struct.unpack(int_pack, struct.pack(float_pack, number))[0])[2:].rjust(bits, '0'))
    return [''.join(islice(bin_iter, x)) for x in (1, exponent_bits, mantissa_bits)]

>>> float_to_bin_parts(9.2)
['0', '10000000010', '0010011001100110011001100110011001100110011001100110']

null

尾数以52位的形式存储在第三分量中。然而，这个组件也有一个怪癖。为了理解这个怪癖，考虑一下科学符号中的一个数字，如下所示：

6.0221413x10²³

尾数为6.0221413。回想一下，科学记数法中的尾数总是以单个非零数字开始。对于binary也是如此，只是binary只有两个数字:0和1。所以二进制尾数总是以1开始！存储浮点数时，省略二进制尾数前面的1，以节省空间；我们必须把它放在第三个元素的前面，才能得到真正的尾数：

null

1.14999999999999999999 x 2³（不精确！）

并相乘以显示我们开始使用的数字(9.2)作为浮点值存储后的最终表示形式：

9.1999999999999993

5179139571476070/2⁴⁹

乘指数：

5179139571476070/562949953421312

>>> float_to_bin_parts(9.5)
['0', '10000000010', '0011000000000000000000000000000000000000000000000000']

二进制到十进制：

19 x 2^-1

对除的负指数：

null