在处理浮点值时，我是否应该结合乘法和除法步骤？

Question

我知道浮点数和双倍点数的精度问题，这就是为什么我要问这个问题：

如果我有一个公式，例如：（a/PI）*180.0（其中PI是常数）

我是否应该将除法和乘法结合起来，以便只能使用一个除法：a/0.017453292519943295769236，以避免精度损失？

当计算结果的步骤较少时，这是否会使其更精确？




Answer 1

匿名用户

是的，您通常应该将尽可能多的常量乘法和除法组合到一个操作中。它（通常（*）同时更快、更准确。

π和π/180及其逆都不能完全表示为浮点数。因此，计算将涉及至少一个近似常数（除了所涉及的每个操作的近似之外）。

因为两个操作各引入一个近似，所以可以预期在一个操作中进行整个计算会更准确。

除此之外，用浮点格式表示π/180的相对精度是优于还是低于180/π，这是一个“运气”的问题。

我的编译器为长双精度类型提供了加法精度，因此我可以使用它作为回答双精度问题的参考：

~ $ cat t.c
#define PIL 3.141592653589793238462643383279502884197L

#include <stdio.h>

int main() {

  long double heop = 180.L / PIL;
  long double pohe = PIL / 180.L;
  printf("relative acc. of π/180: %Le\n", (pohe - (double) pohe) / pohe);
  printf("relative acc. of 180/π: %Le\n", (heop - (double) heop) / heop);
}
~ $ gcc t.c && ./a.out 
relative acc. of π/180: 1.688893e-17
relative acc. of 180/π: -3.469703e-17

在通常的编程实践中，人们不会费心简单地乘以（浮点表示）180/π，因为乘法比除法快得多。事实证明，在binary64浮点类型Double几乎总是映射到的情况下，π/180可以以比180/π更好的相对精度表示，因此π/180是优化精度时应该使用的常量：a/（（双) (π / 180））。使用此公式，总相对误差将近似为常数（1.688893e-17）的相对误差和除法的相对误差（这将取决于a的值，但永远不会超过2^-53）。

请注意，除法非常昂贵，使用一次乘法和一次fma可以更快地获得更精确的结果：让heop1是180/π的最佳近似值，heop2是180/π的最佳近似值。然后，结果的最佳值可以计算为：

double r = fma(a, heop1, a * heop2);

上述是对真实计算的绝对最佳可能的双近似这一事实是一个定理（事实上，它是一个有例外的定理。详细信息可以在“浮点算术手册”中找到）。但即使当您想要将双乘以以以获得双结果的真实常数是定理的例外之一时，上述计算仍然显然非常准确，并且仅与a的少数异常值的最佳双近似不同。

如果像我一样，您的编译器为long Double提供的精度比ple更高，您还可以使用一个long Double乘法：

// this is more accurate than double division:
double r = (double)((long double) a * 57.295779513082320876798L)

这不如基于fma的解决方案好，但它足够好，对于大多数值a，它可以产生与实际计算的最佳双近似值。

（*）对常数进行分组更好的说法仅在统计上适用于大多数常数。

如果您碰巧希望将a乘以（例如）实常数0.0000001*，那么最好先乘以0.0000001，然后再乘以DBL\u MIN，最终结果（如果a大于1000000左右，则可以是一个标准化数字）将比乘以0.0000001*DBL\u MIN的最佳表示形式更加精确。这是因为将0.0000001*DBL\u MIN表示为一个双值时的相对精度比表示0.0000001的精度差得多。