用最小二乘法求正弦近似

Question

我正在做一个项目，用最小二乘法找到正弦函数的近似值。我也可以用我自己选择的12个值。由于我不知道如何求解，我想到用泰勒级数来求解正弦，然后用5阶多项式来求解。下面是我的代码：

%% Find the sine of the 12 known values
x=[0,pi/8,pi/4,7*pi/2,3*pi/4,pi,4*pi/11,3*pi/2,2*pi,5*pi/4,3*pi/8,12*pi/20];
y=zeros(12,1);
for i=1:12
    y=sin(x);
end
n=12;
j=5;
%% Find the sums to populate the matrix A and matrix B
s1=sum(x);s2=sum(x.^2);
s3=sum(x.^3);s4=sum(x.^4);
s5=sum(x.^5);s6=sum(x.^6);
s7=sum(x.^7);s8=sum(x.^8);
s9=sum(x.^9);s10=sum(x.^10);
sy=sum(y);
sxy=sum(x.*y);
sxy2=sum( (x.^2).*y);
sxy3=sum( (x.^3).*y);
sxy4=sum( (x.^4).*y);
sxy5=sum( (x.^5).*y);
A=[n,s1,s2,s3,s4,s5;s1,s2,s3,s4,s5,s6;s2,s3,s4,s5,s6,s7;
    s3,s4,s5,s6,s7,s8;s4,s5,s6,s7,s8,s9;s5,s6,s7,s8,s9,s10];
B=[sy;sxy;sxy2;sxy3;sxy4;sxy5];

然后在matlab中得到这个结果

>> a=A^-1*B
a =
   -0.0248
    1.2203
   -0.2351
   -0.1408
    0.0364
   -0.0021

>> t=pi/2;
fun=t-t^3*a(4)+a(6)*t^5
fun =
    2.0967

Answer 1

如果需要最小二乘近似，只需确定一个要近似的固定间隔，并在该间隔上生成一些x横坐标（可以使用linspace等间距横坐标-或像示例中那样非均匀间距）。然后在每个点计算你的正弦函数，这样你就有了

y = sin(x)

然后简单地使用polyfit函数（这里有文档）来获得最小二乘参数

b = polyfit(x,y,n)

其中n是要近似的多项式的次。然后，您可以使用polyval（这里有文档说明）来获得x的其他值的近似值。

A = ones(length(x),1);
x = x';
for i=1:n
    A = [A x.^i];
end

b = A\y;

您可以清楚地优化上面的笨拙的Vandermonde生成循环，我刚刚编写了这个循环来说明这个概念。为了更好的数值稳定性，你最好使用一个好的正交多项式系统，比如第一类切比雪夫多项式。如果您甚至不允许使用矩阵divide\函数，那么您将需要编写自己的QR分解实现，并以这种方式（或其他一些数值稳定的方法）求解系统。