“银行家四舍五入”真的在数字上更稳定吗？

Question

我是说银行家的四舍五入

1. “圆到最近，连到偶数”

当然，浮点数是用二进制尾数表示的，但我认为上面的推理仍然适用。请注意，对于IEEE754双精度，整数和intergers-plus-half都可以精确地表示绝对值(2^52)，因此这些精确值实际上会在实践中显示出来。

那么方法1怎样更好呢？

Answer 1

是的！它在数值上确实更稳定。

对于您所看到的数字[0.0,0.1,...,0.9]，请注意，在round-ties-to-away下，这些数字中只有四个向下舍入(0.1到0.4)，五个向上舍入，一个(0.0)通过舍入操作没有改变，然后这种模式在1.0到1.9、2.0到2.9等中重复。但是在平局的情况下，我们会得到：

[0.0,0.9]中的
• 五个向下舍入和四个向上舍入 [1.0,1.9]
中的
• 四个向下舍入和五个向上舍入

诸如此类。平均而言，向上舍入和向下舍入得到的值数量相同。更重要的是，由舍入引入的预期误差（在输入分布的适当假设下）更接近于零。

下面是一个使用Python的快速演示。为了避免由于Python 2/Python 3在builtinround函数中的差异而产生的困难，我们给出了两个与Python版本无关的舍入函数：

def round_ties_to_even(x):
    """
    Round a float x to the nearest integer, rounding ties to even.
    """
    if x < 0:
        return -round_ties_to_even(-x)  # use symmetry
    int_part, frac_part = divmod(x, 1)
    return int(int_part) + (
        frac_part > 0.5
        or (frac_part == 0.5 and int_part % 2.0 == 1.0))

def round_ties_away_from_zero(x):
    """
    Round a float x to the nearest integer, rounding ties away from zero.
    """
    if x < 0:
        return -round_ties_away_from_zero(-x)  # use symmetry
    int_part, frac_part = divmod(x, 1)
    return int(int_part) + (frac_part >= 0.5)

现在我们来看看对[50.0,100.0]范围内的点后一位十进制值应用这两个函数所带来的平均误差：

>>> test_values = [n / 10.0 for n in range(500, 1001)]
>>> errors_even = [round_ties_to_even(value) - value for value in test_values]
>>> errors_away = [round_ties_away_from_zero(value) - value for value in test_values]

>>> import statistics
>>> statistics.mean(errors_even), statistics.stdev(errors_even)
(0.0, 0.2915475947422656)
>>> statistics.mean(errors_away), statistics.stdev(errors_away)
(0.0499001996007984, 0.28723681870533313)

这里有一个半现实的例子，演示了在数值算法中从零开始的圆环的偏差。我们将使用两两求和算法，计算浮点数列表的和。该算法将要计算的和分成两个大致相等的部分，递归地将这两个部分求和，然后将结果相加。它比单纯求和更精确，但通常不如卡汉求和等更复杂的算法。这是numpy的sum函数使用的算法。下面是一个简单的Python实现。

import operator

def pairwise_sum(xs, i, j, add=operator.add):
    """
    Return the sum of floats xs[i:j] (0 <= i <= j <= len(xs)),
    using pairwise summation.
    """
    count = j - i
    if count >= 2:
        k = (i + j) // 2
        return add(pairwise_sum(xs, i, k, add),
                   pairwise_sum(xs, k, j, add))
    elif count == 1:
        return xs[i]
    else:  # count == 0
        return 0.0

我们在上面的函数中包含了一个参数add，表示用于添加的操作。默认情况下，它使用Python的普通加法算法，在典型的机器上，该算法将解析为标准的IEEE 754加法，使用舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入-舍入模式。

我们希望查看pairwise_sum函数的预期错误，它同时使用标准加法和从零开始的加法版本。我们的第一个问题是，我们没有一个简单、可移植的方法来从Python中改变硬件的舍入模式，二进制浮点的软件实现会很大而且很慢。幸运的是，我们可以使用一个技巧，在仍然使用硬件浮点的同时，将圆环从零中取出来。对于该技巧的第一部分，我们可以使用Knuth的“2sum”算法将两个浮点数相加，并获得正确的舍入和以及该和中的精确误差：

def exact_add(a, b):
    """
    Add floats a and b, giving a correctly rounded sum and exact error.

    Mathematically, a + b is exactly equal to sum + error.
    """
    # This is Knuth's 2Sum algorithm. See section 4.3.2 of the Handbook
    # of Floating-Point Arithmetic for exposition and proof.
    sum = a + b
    bv = sum - a
    error = (a - (sum - bv)) + (b - bv)
    return sum, error

def add_ties_away(a, b):
    """
    Return the sum of a and b. Ties are rounded away from zero.
    """
    sum, error = exact_add(a, b)
    sum2, error2 = exact_add(sum, 2.0*error)
    if error2 or not error:
        # Not a tie.
        return sum
    else:
        # Tie. Choose the larger of sum and sum2 in absolute value.
        return max([sum, sum2], key=abs)

现在我们可以比较结果了。sample_sum_errors是一个函数，它生成范围[1,2]内的浮点数列表，使用普通的圆连加法和自定义的圆连离零版本将它们相加，与精确的和进行比较，并返回这两个版本的错误，以最后一个位置的单位度量。

import fractions
import random

def sample_sum_errors(sample_size=1024):
    """
    Generate `sample_size` floats in the range [1.0, 2.0], sum
    using both addition methods, and return the two errors in ulps.
    """
    xs = [random.uniform(1.0, 2.0) for _ in range(sample_size)]
    to_even_sum = pairwise_sum(xs, 0, len(xs))
    to_away_sum = pairwise_sum(xs, 0, len(xs), add=add_ties_away)

    # Assuming IEEE 754, each value in xs becomes an integer when
    # scaled by 2**52; use this to compute an exact sum as a Fraction.
    common_denominator = 2**52
    exact_sum = fractions.Fraction(
        sum(int(m*common_denominator) for m in xs),
        common_denominator)

    # Result will be in [1024, 2048]; 1 ulp in this range is 2**-44.
    ulp = 2**-44
    to_even_error = (fractions.Fraction(to_even_sum) - exact_sum) / ulp
    to_away_error = (fractions.Fraction(to_away_sum) - exact_sum) / ulp

    return to_even_error, to_away_error

下面是一个示例运行：

>>> sample_sum_errors()
(1.6015625, 9.6015625)

因此，使用标准加法的误差为1.6ulps，当从零四舍五入时，误差为9.6ulps。当然，从零开始的方法看起来更糟糕，但一次运行并不特别令人信服。让我们这样做10000次，每次使用不同的随机样本，并绘制我们得到的误差。代码如下：

import statistics
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def show_error_distributions():
    errors = [sample_sum_errors() for _ in range(10000)]
    to_even_errors, to_away_errors = zip(*errors)
    print("Errors from ties-to-even: "
          "mean {:.2f} ulps, stdev {:.2f} ulps".format(
              statistics.mean(to_even_errors),
              statistics.stdev(to_even_errors)))
    print("Errors from ties-away-from-zero: "
          "mean {:.2f} ulps, stdev {:.2f} ulps".format(
              statistics.mean(to_away_errors),
              statistics.stdev(to_away_errors)))

    ax1 = plt.subplot(2, 1, 1)
    plt.hist(to_even_errors, bins=np.arange(-7, 17, 0.5))
    ax2 = plt.subplot(2, 1, 2)
    plt.hist(to_away_errors, bins=np.arange(-7, 17, 0.5))
    ax1.set_title("Errors from ties-to-even (ulps)")
    ax2.set_title("Errors from ties-away-from-zero (ulps)")
    ax1.xaxis.set_visible(False)
    plt.show()

Errors from ties-to-even: mean 0.00 ulps, stdev 1.81 ulps
Errors from ties-away-from-zero: mean 9.76 ulps, stdev 1.40 ulps

我计划更进一步，对两个样本进行偏差的统计测试，但从零开始的联系方法的偏差是如此显著，以至于看起来没有必要。有趣的是，虽然从零开始的方法给出的结果较差，但它确实给出了较小的误差传播。