在不计算其他数的情况下找到第n个置换

Question

给定代表置换原子的N个元素的数组，是否存在类似的算法：

function getNthPermutation( $atoms, $permutation_index, $size )

其中$atoms是元素数组，$permutation_index是排列的索引，是排列$size的大小。

例如：

$atoms = array( 'A', 'B', 'C' );
// getting third permutation of 2 elements
$perm = getNthPermutation( $atoms, 3, 2 );

echo implode( ', ', $perm )."\n";

将打印：

B, A

直到$ permutation_index才计算每个排列？

我听到了一些关于因式排列的知识，但是我发现的每个实现都给出了具有相同大小V的排列，这不是我的情况。

谢谢。

Answer 1

如RickyBobby所述，在考虑排列的字典顺序时，您应该利用阶乘分解来发挥自己的优势。

从实际的角度来看，这是我的看法：

• 执行排序欧几里德师，除非你用阶乘的数字，与开始做(n-1)!，(n-2)!等。
• 将商保持在数组中。该i个商应该是一个数之间0和n-i-1包容性的，其中i从去0到n-1。
• 该数组 是 您的排列。问题在于每个商都不关心先前的值，因此您需要对其进行调整。更明确地说，您需要将每个值递增多少倍，就像先前的值较低或相等一样。

以下C代码应该使您了解其工作原理（n是条目数，i是排列的索引）：

/**
 * @param n The number of entries
 * @param i The index of the permutation
 */
void ithPermutation(const int n, int i)
{
   int j, k = 0;
   int *fact = (int *)calloc(n, sizeof(int));
   int *perm = (int *)calloc(n, sizeof(int));

   // compute factorial numbers
   fact[k] = 1;
   while (++k < n)
      fact[k] = fact[k - 1] * k;

   // compute factorial code
   for (k = 0; k < n; ++k)
   {
      perm[k] = i / fact[n - 1 - k];
      i = i % fact[n - 1 - k];
   }

   // readjust values to obtain the permutation
   // start from the end and check if preceding values are lower
   for (k = n - 1; k > 0; --k)
      for (j = k - 1; j >= 0; --j)
         if (perm[j] <= perm[k])
            perm[k]++;

   // print permutation
   for (k = 0; k < n; ++k)
      printf("%d ", perm[k]);
   printf("\n");

   free(fact);
   free(perm);
}

例如，ithPermutation(10, 3628799)按预期打印十个元素的最后一个排列：

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0