Sympy：在有限域中求解矩阵

Question

对于我的项目，我需要求解给定矩阵Y和K的矩阵X。（XY =
K）每个矩阵的元素必须是整数，以随机256位素数为模。解决这个问题的第一个尝试是使用SymPymod_inv(n)函数。问题是我的矩阵大小为30的内存用完了。我的下一个想法是执行矩阵分解，因为这样可能减轻了内存的负担。但是，SymPy似乎不包含能够找到以模为模的矩阵的求解器。我可以使用任何解决方法或自制代码吗？

Answer 1

sympy的Matrix类支持模逆。这是模5的示例：

from sympy import Matrix, pprint

A = Matrix([
    [5,6],
    [7,9]
])

#Find inverse of A modulo 26
A_inv = A.inv_mod(5)
pprint(A_inv)

#Prints the inverse of A modulo 5:
#[3  3]
#[    ]
#[1  0]

该rref查找行还原梯形形式方法支持一个关键字iszerofunction，指示哪些条目内的矩阵应当为零来处理。尽管我不确定，但我相信预期用途是为了保持数值稳定性（将小数设为零）。我已将其用于模块化缩减。

这是模5的示例：

from sympy import Matrix, Rational, mod_inverse, pprint

B = Matrix([
        [2,2,3,2,2],
        [2,3,1,1,4],
        [0,0,0,1,0],
        [4,1,2,2,3]
])

#Find row-reduced echolon form of B modulo 5:
B_rref = B.rref(iszerofunc=lambda x: x % 5==0)

pprint(B_rref)

# Returns row-reduced echelon form of B modulo 5, along with pivot columns:
# ([1  0  7/2  0  -1], [0, 1, 3])
#  [                ]
#  [0  1  -2   0  2 ]
#  [                ]
#  [0  0   0   1  0 ]
#  [                ]
#  [0  0  -10  0  5 ]

这是正确的，除了由返回的矩阵中rref[0]仍包含5和小数。通过采用mod并将分数解释为模数逆来处理此问题：

def mod(x,modulus):
    numer, denom = x.as_numer_denom()
    return numer*mod_inverse(denom,modulus) % modulus

pprint(B_rref[0].applyfunc(lambda x: mod(x,5)))

#returns
#[1  0  1  0  4]
#[             ]
#[0  1  3  0  2]
#[             ]
#[0  0  0  1  0]
#[             ]
#[0  0  0  0  0]