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你回答一下这个题,600 个人站一排,每次随机杀掉一个奇数位的人,你认为几号最安全(成为最后一个被杀死的概率最大)?

闾丘鸣
2023-03-14
本文向大家介绍你回答一下这个题,600 个人站一排,每次随机杀掉一个奇数位的人,你认为几号最安全(成为最后一个被杀死的概率最大)?相关面试题,主要包含被问及你回答一下这个题,600 个人站一排,每次随机杀掉一个奇数位的人,你认为几号最安全(成为最后一个被杀死的概率最大)?时的应答技巧和注意事项,需要的朋友参考一下
600最安全。

假设只有2个人,那么1号活到最后概率为0,2号活到最后概率为1。

假设有3个人,那么1号概率0,2号概率1/2,3号概率1/2。

假设4个人,1号概率0,2号概率1/4,3号概率1/4,4号概率1/2。

假设5个人,1号概率0,2号概率1/6,3号概率1/6,4号概率1/3,5号概率1/3。

假设6个人,1号概率0,2号概率1/9,3号概率1/9,4号概率2/9,5号概率2/9,6号概率1/3……

根据上述规律,大胆假设:

一共有n个人时,i号活到最后的概率为:

n为偶数时,
P(i,n)=2i/n^2 (i为偶数)①
或 2(i-1)/n^2 (i为奇数)②

n为奇数时,
P(i,n)=2i/(n^2-1) (i为偶数)③
或 2(i-1)/(n^2-1) (i为奇数)④


且n=1,n=2时上述四式成立。


同时,考虑在队尾增加1个人,人数变成n+1时,各人活到最后的概率为:

n为偶数时,
P(i,n+1)=i/(n+2)×P(i-1,n)+(n-i+2)/(n+2)×P(i,n) (i为偶数)⑤

即 P(第一次先打i号前面的奇数)×P(n个人时i-1号活到最后)+P(第一次先打i号后面的奇数)×P(n个人时i号活到最后),下同

或 P(i,n+1)=(i-1)/(n+2)×P(i-1,n)+(n-i+3)/(n+2)×P(i,n) (i为奇数)⑥

n为奇数时,
P(i,n+1)=i/(n+1)×P(i-1,n)+(n-i+1)/(n+1)×P(i,n) (i为偶数)⑦
或 P(i,n+1)=(i-1)/(n+1)×P(i-1,n)+(n-i+2)/(n+1)×P(i,n) (i为奇数)⑧


下面就是证明原假设了,将①②代入⑤得:
(此时n,i均为偶数)

P(i,n+1)=i/(n+2)×2(i-2)/n^2+(n-i+2)/(n+2)×2i/n^2
=(2i^2-4i+2ni-2i^2+4i)/((n+2)×n^2)
=2ni/((n+2)×n^2)
=2i/(n^2+2n)
=2i/((n+1)^2-1)
与假设中式③相符(n+1为奇数,i为偶数)

……之后再代入⑥⑦⑧,递推
由:

n=1,n=2时原假设成立;
当n=m,原假设成立时,n=m+1也能使原假设成立。
可知原假设在n属于正整数时成立,
即一共有n个人时,i号活到最后的概率为:

n为偶数时,
P(i,n)=2i/n^2 (i为偶数)①
或 2(i-1)/n^2 (i为奇数)②

n为奇数时,
P(i,n)=2i/(n^2-1) (i为偶数)③
或 2(i-1)/(n^2-1) (i为奇数)④


n=600适用于①②
明显i越大,活到最后的概率越大,且600号概率大于599号。(如果是n=599,那么598号与599号活到最后的概率同为最大值)
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