利用 SVD 来简化数据

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2023-12-01

SVD 概述

奇异值分解（SVD, Singular Value Decomposition）: 提取信息的一种方法，可以把 SVD 看成是从噪声数据中抽取相关特征。从生物信息学到金融学，SVD 是提取信息的强大工具。

SVD 场景

信息检索-隐性语义检索（Latent Semantic Indexing, LSI）或隐形语义分析（Latent Semantic Analysis, LSA）

隐性语义索引：矩阵 = 文档 + 词语

是最早的 SVD 应用之一，我们称利用 SVD 的方法为隐性语义索引（LSI）或隐性语义分析（LSA）。

LSA举例

推荐系统

利用 SVD 从数据中构建一个主题空间。
再在该空间下计算其相似度。(从高维-低维空间的转化，在低维空间来计算相似度，SVD 提升了推荐系统的效率。)

主题空间案例1

上图右边标注的为一组共同特征，表示美式 BBQ 空间；另一组在上图右边未标注的为日式食品空间。

图像压缩

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

SVD公式

SVD 原理

SVD 工作原理

矩阵分解

矩阵分解是将数据矩阵分解为多个独立部分的过程。
矩阵分解可以将原始矩阵表示成新的易于处理的形式，这种新形式是两个或多个矩阵的乘积。（类似代数中的因数分解）
举例：如何将12分解成两个数的乘积？（1，12）、（2，6）、（3，4）都是合理的答案。

SVD 是矩阵分解的一种类型，也是矩阵分解最常见的技术

SVD 将原始的数据集矩阵 Data 分解成三个矩阵 U、∑、V
举例：如果原始矩阵 \(Data_{m*n}\) 是m行n列，
- \(U_{m * k}\) 表示m行k列
- \(∑_{k * k}\) 表示k行k列
- \(V_{k * n}\) 表示k行n列。

\(Data{m*n} = U{m*k} * ∑{k*k} * V{k*n}\)

SVD公式

具体的案例：（大家可以试着推导一下：https://wenku.baidu.com/view/b7641217866fb84ae45c8d17.html ）

SVD公式

上述分解中会构建出一个矩阵∑，该矩阵只有对角元素，其他元素均为0(近似于0)。另一个惯例就是，∑的对角元素是从大到小排列的。这些对角元素称为奇异值。
奇异值与特征值(PCA 数据中重要特征)是有关系的。这里的奇异值就是矩阵 \(Data * Data^T\) 特征值的平方根。
普遍的事实：在某个奇异值的数目(r 个=>奇异值的平方和累加到总值的90%以上)之后，其他的奇异值都置为0(近似于0)。这意味着数据集中仅有 r 个重要特征，而其余特征则都是噪声或冗余特征。

SVD 算法特点

优点：简化数据，去除噪声，优化算法的结果
缺点：数据的转换可能难以理解
使用的数据类型：数值型数据

推荐系统

项目案例: 餐馆菜肴推荐系统

项目概述

假如一个人在家决定外出吃饭，但是他并不知道该到哪儿去吃饭，该点什么菜。推荐系统可以帮他做到这两点。

开发流程

收集并准备数据

SVD 矩阵

def loadExData3():
    # 利用SVD提高推荐效果，菜肴矩阵
    """
    行：代表人
    列：代表菜肴名词
    值：代表人对菜肴的评分，0表示未评分
    """
    return[[2, 0, 0, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 4, 0],
           [3, 3, 4, 0, 3, 0, 0, 2, 2, 0, 0],
           [5, 5, 5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [4, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 5],
           [0, 0, 0, 0, 0, 4, 0, 0, 0, 0, 4],
           [0, 0, 0, 0, 0, 0, 5, 0, 0, 5, 0],
           [0, 0, 0, 3, 0, 0, 0, 0, 4, 5, 0],
           [1, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 0, 4, 5, 0]]

分析数据: 这里不做过多的讨论(当然此处可以对比不同距离之间的差别)

训练算法: 通过调用 recommend() 函数进行推荐

recommend() 会调用基于物品相似度或者是基于SVD，得到推荐的物品评分。

1.基于物品相似度

基于物品相似度

欧式距离的计算方式

# 基于物品相似度的推荐引擎
def standEst(dataMat, user, simMeas, item):
    """standEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 得到数据集中的物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 初始化两个评分值
    simTotal = 0.0
    ratSimTotal = 0.0
    # 遍历行中的每个物品（对用户评过分的物品进行遍历，并将它与其他物品进行比较）
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        # 如果某个物品的评分值为0，则跳过这个物品
        if userRating == 0:
            continue
        # 寻找两个用户都评级的物品
        # 变量 overLap 给出的是两个物品当中已经被评分的那个元素的索引ID
        # logical_and 计算x1和x2元素的真值。
        overLap = nonzero(logical_and(dataMat[:, item].A > 0, dataMat[:, j].A > 0))[0]
        # 如果相似度为0，则两着没有任何重合元素，终止本次循环
        if len(overLap) == 0:
            similarity = 0
        # 如果存在重合的物品，则基于这些重合物重新计算相似度。
        else:
            similarity = simMeas(dataMat[overLap, item], dataMat[overLap, j])
        # print 'the %d and %d similarity is : %f'(iten,j,similarity)
        # 相似度会不断累加，每次计算时还考虑相似度和当前用户评分的乘积
        # similarity  用户相似度，   userRating 用户评分
        simTotal += similarity
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    # 通过除以所有的评分总和，对上述相似度评分的乘积进行归一化，使得最后评分在0~5之间，这些评分用来对预测值进行排序
    else:
        return ratSimTotal/simTotal

2.基于 SVD（参考地址：http://www.codeweblog.com/svd-%E7%AC%94%E8%AE%B0/）

基于SVD.png

# 基于SVD的评分估计
# 在recommend() 中，这个函数用于替换对standEst()的调用，该函数对给定用户给定物品构建了一个评分估计值
def svdEst(dataMat, user, simMeas, item):
    """svdEst(计算某用户未评分物品中，以对该物品和其他物品评分的用户的物品相似度，然后进行综合评分)

    Args:
        dataMat         训练数据集
        user            用户编号
        simMeas         相似度计算方法
        item            未评分的物品编号
    Returns:
        ratSimTotal/simTotal     评分（0～5之间的值）
    """
    # 物品数目
    n = shape(dataMat)[1]
    # 对数据集进行SVD分解
    simTotal = 0.0
    ratSimTotal = 0.0
    # 奇异值分解
    # 在SVD分解之后，我们只利用包含了90%能量值的奇异值，这些奇异值会以NumPy数组的形式得以保存
    U, Sigma, VT = la.svd(dataMat)

    # # 分析 Sigma 的长度取值
    # analyse_data(Sigma, 20)

    # 如果要进行矩阵运算，就必须要用这些奇异值构建出一个对角矩阵
    Sig4 = mat(eye(4) * Sigma[: 4])
    # 利用U矩阵将物品转换到低维空间中，构建转换后的物品(物品+4个主要的特征)
    xformedItems = dataMat.T * U[:, :4] * Sig4.I
    # 对于给定的用户，for循环在用户对应行的元素上进行遍历，
    # 这和standEst()函数中的for循环的目的一样，只不过这里的相似度计算时在低维空间下进行的。
    for j in range(n):
        userRating = dataMat[user, j]
        if userRating == 0 or j == item:
            continue
        # 相似度的计算方法也会作为一个参数传递给该函数
        similarity = simMeas(xformedItems[item, :].T, xformedItems[j, :].T)
        # for 循环中加入了一条print语句，以便了解相似度计算的进展情况。如果觉得累赘，可以去掉
        print 'the %d and %d similarity is: %f' % (item, j, similarity)
        # 对相似度不断累加求和
        simTotal += similarity
        # 对相似度及对应评分值的乘积求和
        ratSimTotal += similarity * userRating
    if simTotal == 0:
        return 0
    else:
        # 计算估计评分
        return ratSimTotal/simTotal

排序获取最后的推荐结果

# recommend()函数，就是推荐引擎，它默认调用standEst()函数，产生了最高的N个推荐结果。
# 如果不指定N的大小，则默认值为3。该函数另外的参数还包括相似度计算方法和估计方法
def recommend(dataMat, user, N=3, simMeas=cosSim, estMethod=standEst):
    # 寻找未评级的物品
    # 对给定的用户建立一个未评分的物品列表
    unratedItems = nonzero(dataMat[user, :].A == 0)[1]
    # 如果不存在未评分物品，那么就退出函数
    if len(unratedItems) == 0:
        return 'you rated everything'
    # 物品的编号和评分值
    itemScores = []
    # 在未评分物品上进行循环
    for item in unratedItems:
        estimatedScore = estMethod(dataMat, user, simMeas, item)
        # 寻找前N个未评级物品，调用standEst()来产生该物品的预测得分，该物品的编号和估计值会放在一个元素列表itemScores中
        itemScores.append((item, estimatedScore))
        # 按照估计得分，对该列表进行排序并返回。列表逆排序，第一个值就是最大值
    return sorted(itemScores, key=lambda jj: jj[1], reverse=True)[: N]

测试和项目调用，可直接参考我们的代码

完整代码地址：https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py

要点补充

基于内容(content-based)的推荐

通过各种标签来标记菜肴
将这些属性作为相似度计算所需要的数据
这就是：基于内容的推荐。

构建推荐引擎面临的挑战

问题

1）在大规模的数据集上，SVD分解会降低程序的速度
2）存在其他很多规模扩展性的挑战性问题，比如矩阵的表示方法和计算相似度得分消耗资源。
3）如何在缺乏数据时给出好的推荐-称为冷启动【简单说：用户不会喜欢一个无效的物品，而用户不喜欢的物品又无效】

建议

1）在大型系统中，SVD分解(可以在程序调入时运行一次)每天运行一次或者其频率更低，并且还要离线运行。
2）在实际中，另一个普遍的做法就是离线计算并保存相似度得分。(物品相似度可能被用户重复的调用)
3）冷启动问题，解决方案就是将推荐看成是搜索问题，通过各种标签／属性特征进行基于内容的推荐。

项目案例: 基于 SVD 的图像压缩

收集并准备数据

将文本数据转化为矩阵

# 加载并转换数据
def imgLoadData(filename):
    myl = []
    # 打开文本文件，并从文件以数组方式读入字符
    for line in open(filename).readlines():
        newRow = []
        for i in range(32):
            newRow.append(int(line[i]))
        myl.append(newRow)
    # 矩阵调入后，就可以在屏幕上输出该矩阵
    myMat = mat(myl)
    return myMat

分析数据: 分析 Sigma 的长度个数

通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并去除噪声。

def analyse_data(Sigma, loopNum=20):
    """analyse_data(分析 Sigma 的长度取值)

    Args:
        Sigma         Sigma的值
        loopNum       循环次数
    """
    # 总方差的集合（总能量值）
    Sig2 = Sigma**2
    SigmaSum = sum(Sig2)
    for i in range(loopNum):
        SigmaI = sum(Sig2[:i+1])
        '''
        根据自己的业务情况，就行处理，设置对应的 Singma 次数

        通常保留矩阵 80% ～ 90% 的能量，就可以得到重要的特征并取出噪声。
        '''
        print '主成分：%s, 方差占比：%s%%' % (format(i+1, '2.0f'), format(SigmaI/SigmaSum*100, '4.2f'))

使用算法: 对比使用 SVD 前后的数据差异对比，对于存储大家可以试着写写

例如：32*32=1024 => 32*2+2*1+32*2=130(2*1表示去掉了除对角线的0), 几乎获得了10倍的压缩比。

# 打印矩阵
def printMat(inMat, thresh=0.8):
    # 由于矩阵保护了浮点数，因此定义浅色和深色，遍历所有矩阵元素，当元素大于阀值时打印1，否则打印0
    for i in range(32):
        for k in range(32):
            if float(inMat[i, k]) > thresh:
                print 1,
            else:
                print 0,
        print ''


# 实现图像压缩，允许基于任意给定的奇异值数目来重构图像
def imgCompress(numSV=3, thresh=0.8):
    """imgCompress( )

    Args:
        numSV       Sigma长度   
        thresh      判断的阈值
    """
    # 构建一个列表
    myMat = imgLoadData('data/14.SVD/0_5.txt')

    print "****original matrix****"
    # 对原始图像进行SVD分解并重构图像e
    printMat(myMat, thresh)

    # 通过Sigma 重新构成SigRecom来实现
    # Sigma是一个对角矩阵，因此需要建立一个全0矩阵，然后将前面的那些奇异值填充到对角线上。
    U, Sigma, VT = la.svd(myMat)
    # SigRecon = mat(zeros((numSV, numSV)))
    # for k in range(numSV):
    #     SigRecon[k, k] = Sigma[k]

    # 分析插入的 Sigma 长度
    analyse_data(Sigma, 20)

    SigRecon = mat(eye(numSV) * Sigma[: numSV])
    reconMat = U[:, :numSV] * SigRecon * VT[:numSV, :]
    print "****reconstructed matrix using %d singular values *****" % numSV
    printMat(reconMat, thresh)

完整代码地址：https://github.com/apachecn/AiLearning/blob/master/src/py2.x/ml/14.SVD/svdRecommend.py

利用 SVD 来简化数据

SVD 概述

SVD 场景

SVD 原理

SVD 工作原理

SVD 算法特点

推荐系统

推荐系统概述

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推荐系统要点

推荐系统原理

项目案例: 餐馆菜肴推荐系统

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开发流程

要点补充

项目案例: 基于 SVD 的图像压缩

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推荐系统 要点

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