lim(n→+∞)(1+1/n)^n=e？

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=\underset{n\to +\infty }{\lim }{e}^{\ln (1+\frac{1}{n}{)}^n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }{e}^{n\ln (1+\frac{1}{n})}$$
$$=e^K,其中，K=\underset{n\to +\infty }{\lim }n\ln (1+\frac{1}{n})$$

令$t=\frac{1}{n}$,则，K可以转化为：
$$K=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (1+\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+t)}{t}=1$$

所以：

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e^K=e^1=e$$
分析：
以上过程看上去是完美机智的证明，然而经过一番思考，最后发现这样证明实际是很荒谬滑稽的！（至少对于我当前的知识体系来讲是不对的）
关键在于，为什么${\lim }_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}=1$？，此处无论运用洛必达法则，还是无穷小替换，都绕不过对$\ln (1+t)$求导，而求导过程又用到了${\lim }_{n\to +\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$。这就相当于是用结论证明结论，当然滑稽！所以现在需要寻找一种方法证明${\lim }_{t\to 0}\frac{\ln (1+t)}{t}=1$，就能证明${\lim }_{n\to +\infty }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$，要求这种方法不能使用对数、指数等求导公式。最后，通过我的不断努力，并没有找到这种方法

综上，证明这个重要极限时，不能使用各种乱七八糟的定理，因为他们都会用到求导之类的公式，而公式又是由这个重要极限推出来的，用结论证明结论显然是荒谬不可取的。
附：由于手头没有课本，不清楚官方怎么证明，百度了一波，下面这个链接的证明思路看上去才靠谱：通过数列证明单调有界，从而得到极限
https://blog.csdn.net/ETERNITY_neu/article/details/85837088