base-stock 策略的相关证明

base-stock 策略适用一个多阶段报童模型，构建动态规划模型：

可变订货成本 $c$， 单位库存持有成本 $h$，缺货惩罚成本 $\pi$

状态变量：每阶段初始库存水平 $x_{t-1}$
决策变量：补货上限 $y_t$, （$y_t=x_{t-1}+Q_t$，$Q_t$ 为订货量）
状态转移方程： $x_{t+1}=y_t-{\xi }_t$
最优指标函数：$f_t(x_{t-1})$，表示既定初始库存 $x_{t-1}$ 时， 从 $t$ 阶段到最后一阶段的最小成本和。

递推方程（省掉下标）：
$$f_t(x)=\underset{x\le y}{\min }L(y)+c(y-x)+{\int }_0^{\infty }{f}_{t+1}(y-\xi )d_{\xi }$$
其中：
$L(y)=h{\int }_0^y(y-\xi )\varphi (\xi )d\xi +\pi {\int }_y^{\infty }(\xi -y)\varphi (\xi )d\xi =h{I}^{+}+\pi I^{-}=h{I}^{+}+\pi (I^{+}-y+\mu )$

定义另一个表达式：
$$G(y)=L(y)+cy+{\int }_0^{\infty }f(y-\xi )d_{\xi }$$

当 $f_{t+1}$ 为凸函数时，具有以下性质：

1. $G(y)$ 为凸函数
2. $t$ 阶段的最优订货策略为 base-stock 策略
3. $f(x)$ 为凸函数
   

证明：

1. 显然 $L(y)$ 为凸函数，其一阶导数为 $(h+\pi ){\int }_0^y\varphi (\xi )d\xi -\pi$。第二项是线性。第三项根据性质：一个凸函数在一个随机变量上的期望仍然是凸函数。因此 $G(y)$ 是凸函数。
2. 根据凸函数的图形特点可以直接得出第二个命题的证明。
3. 根据性质：最小化一个联合凸函数形成的单变量函数仍是凸函数，可以证明第三个命题。$\square$

通过从最后一阶段递推，可以得出每个阶段的最优订货策略都为： base-stock 策略，这与 (s, S) 策略的最大区别在于：多阶段报童模型里面没有固定订货成本，若含有固定订货成本 $K$，则需要证明递推函数为 K-凸，然后得出最优订货策略 (s, S).

关键节点 (critical fraction)：使 $L(y)$ 最小的点 $\frac{\pi }{\pi +h}$

还有一个定理：若界限函数的斜率为 $-c$，则每个阶段的补货上限 $S=\frac{\pi -(1-\alpha )c}{\pi +h}$. 其中，$\alpha$ 为一个阶段的折扣率。

证明：此时必须假设界限函数的形式为 $-cx$，含义是多余的库存可以按进价处理掉，而缺货的必须补上。先证明最后一个阶段的最小值在 $S$ 处达到，然后递推分析即可得证。 $\square$

参考资料¹：

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1. Porteus, E. L. (2002). Foundations of stochastic inventory theory. Stanford University Press (pp 67-69). ↩︎