HYSBZ 1898 Swamp 沼泽鳄鱼（矩阵快速幂）

1898: [Zjoi2005]Swamp 沼泽鳄鱼

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Description

潘塔纳尔沼泽地号称世界上最大的一块湿地，它地位于巴西中部马托格罗索州的南部地区。每当雨季来临，这里碧波荡漾、生机盎然，引来不少游客。为了让游玩更有情趣，人们在池塘的中央建设了几座石墩和石桥，每座石桥连接着两座石墩，且每两座石墩之间至多只有一座石桥。这个景点造好之后一直没敢对外开放，原因是池塘里有不少危险的食人鱼。豆豆先生酷爱冒险，他一听说这个消息，立马赶到了池塘，想做第一个在桥上旅游的人。虽说豆豆爱冒险，但也不敢拿自己的性命开玩笑，于是他开始了仔细的实地勘察，并得到了一些惊人的结论：食人鱼的行进路线有周期性，这个周期只可能是2，3或者4个单位时间。每个单位时间里，食人鱼可以从一个石墩游到另一个石墩。每到一个石墩，如果上面有人它就会实施攻击，否则继续它的周期运动。如果没有到石墩，它是不会攻击人的。借助先进的仪器，豆豆很快就摸清了所有食人鱼的运动规律，他要开始设计自己的行动路线了。每个单位时间里，他只可以沿着石桥从一个石墩走到另一个石墩，而不可以停在某座石墩上不动，因为站着不动还会有其它危险。如果豆豆和某条食人鱼在同一时刻到达了某座石墩，就会遭到食人鱼的袭击，他当然不希望发生这样的事情。现在豆豆已经选好了两座石墩Start和End，他想从Start出发，经过K个单位时间后恰好站在石墩End上。假设石墩可以重复经过（包括Start和End），他想请你帮忙算算，这样的路线共有多少种（当然不能遭到食人鱼的攻击）。

Input

输入文件共M + 2 + NFish行。第一行包含五个正整数N，M，Start，End和K，分别表示石墩数目、石桥数目、Start石墩和End石墩的编号和一条路线所需的单位时间。石墩用0到N–1的整数编号。第2到M + 1行，给出石桥的相关信息。每行两个整数x和y，0 ≤ x, y ≤ N–1，表示这座石桥连接着编号为x和y的两座石墩。第M + 2行是一个整数NFish，表示食人鱼的数目。第M + 3到M + 2 + NFish行，每行给出一条食人鱼的相关信息。每行的第一个整数是T，T = 2，3或4，表示食人鱼的运动周期。接下来有T个数，表示一个周期内食人鱼的行进路线。 如果T＝2，接下来有2个数P0和P1，食人鱼从P0到P1，从P1到P0，……； 如果T＝3，接下来有3个数P0，P1和P2，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P0，……； 如果T＝4，接下来有4个数P0，P1，P2和P3，食人鱼从P0到P1，从P1到P2，从P2到P3，从P3到P0，……。豆豆出发的时候所有食人鱼都在自己路线上的P0位置，请放心，这个位置不会是Start石墩。

Output

输出路线的种数，因为这个数可能很大，你只要输出该数除以10000的余数就行了。 【约定】 1 ≤ N ≤ 50  1 ≤ K ≤ 2,000,000,000  1 ≤ NFish ≤ 20

Sample Input

6 8 1 5 3
0 2
2 1
1 0
0 5
5 1
1 4
4 3
3 5
1
3 0 5 1

Sample Output

2

【样例说明】
时刻 0 1 2 3
食人鱼位置 0 5 1 0
路线一 1 2 0 5
路线二 1 4 3 5

【思路】

首先应了解矩阵的一个性质，那就是可以用矩阵来表示某两点之间是否有通路、有多少种通路。举个例子，对于矩阵A、B，A[i][j]=1表示i和j之间存在通路，B[j][k]=1表示i和j存在通路，令C=A*B，可以得到C[i][k]=1，即i和k通过j连在了一起，那么i和j也存在通路。如果A、B矩阵不仅是01矩阵，那么得到的结果就表示i和j之间存在的通路的数目。所以可以用矩阵来简化通路关系的运算。

食人鱼的周期只有2、3、4三种，它们的总周期为12，因此这个人可以依据这个周期来走。于是我们可以处理出12个状态下有哪些桥墩是可走的，按照循环节的数目做矩阵快速幂取模，再乘上最后走的那几步的状态，就可以得到答案了。答案就是最终矩阵第start行、第end列的元素。

【代码】

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

const int MAXN=52,MOD=10000;

int n,m,st,ed,k,fish;
int t[25];
int f[25][5];

struct matrix{
    int a[MAXN][MAXN];

    matrix()
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
    }

    matrix operator*(const matrix &another)const
    {
        matrix ans;
        for(int i=0;i<=n-1;i++)
            for(int j=0;j<=n-1;j++){
                for(int k=0;k<=n-1;k++)
                    ans.a[i][j]+=a[i][k]*another.a[k][j];
                ans.a[i][j]%=MOD;
            }
        return ans;
    }
};

matrix link[15];

matrix qpow(matrix a,int b)
{
    matrix ans;
    for(int i=0;i<=n-1;i++)ans.a[i][i]=1;
    while(b!=0){
        if(b&1==1)ans=ans*a;
        a=a*a;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d %d %d %d %d",&n,&m,&st,&ed,&k);
    while(m--){
        int a,b;
        scanf("%d %d",&a,&b);
        link[0].a[a][b]=1;
        link[0].a[b][a]=1;
    }
    scanf("%d",&fish);
    for(int i=1;i<=fish;i++){
        scanf("%d",&t[i]);
        for(int j=0;j<t[i];j++)
            scanf("%d",&f[i][j]);
    }
    for(int i=1;i<=12;i++){
        link[i]=link[0];
        for(int j=1;j<=fish;j++)
            for(int k=0;k<=n-1;k++)
                link[i].a[k][f[j][i%t[j]]]=0;
    }
    matrix mat;
    for(int i=0;i<=n-1;i++)mat.a[i][i]=1;
    for(int i=1;i<=12;i++)mat=mat*link[i];
    mat=qpow(mat,k/12);
    for(int i=1;i<=k%12;i++)mat=mat*link[i];
    printf("%d",mat.a[st][ed]);
    return 0;
}