函数图像绘制python海龟库
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前言
如今数学界中很多分析方法都被科学界广泛使用，比如图像和解析式。他们用于数学本身，比如研究发展微积分，线性代数，非欧几何，以及统计学等，而这些数学领域的知识又广泛应用于自然科学的各类研究。从图像到解析式本身是一项壮举，因为他把几何与代数联系了起来。这让研究自然科学更容易了，因为你无法在摆钟上看到一个他高度和动能的关系式，但是你可以通过随着时间变化，摆钟的高度变化作一个图像，再同理做一个动能的变化图像，通过图像研究他的代数解析式和图像关系，然后再用数学的法则运算得到最终结果后，总结出规律。
但现在的问题是，大多图像都是一条或几条平滑的曲线，不是我们能用一把尺子就能画的出来的直线。这个时候，我们就需要计算机的帮助，我们希望我们输入一个解析式，他就能返回对应的图像，或者...没有图像。好，我们现在开始了解他是怎么实现图像绘制的吧
一、x,y轴绘制
1.代码展示
#画坐标轴，标箭头，写坐标点
import turtle
def draw_line(x,y,heading,length,color):
#画坐标轴
turtle.pensize(4)
turtle.shape("circle")
turtle.up()
turtle.goto(x,y)
turtle.setheading(heading)
turtle.down()
turtle.pencolor(color)
turtle.fd(length)
#标x,y轴箭头
turtle.left(135)
turtle.fd(15)
turtle.back(15)
turtle.setheading(heading)
turtle.right(135)
turtle.fd(15)
turtle.back(15)
#坐标轴信息
turtle.setheading(heading)
turtle.up()
turtle.fd(20)
turtle.down()
if heading==0:
turtle.write("x",font=("arial",24,"bold"))
if heading==90:
turtle.write("y", font=("arial", 24, "bold"))
2.代码讲解
这段画x,y轴的代码要分三部分。1.画x,y坐标轴 2.给轴标上箭头表示正x和正y的方向 3.写坐标轴信息---给坐标轴写上x,y的标签
2.1 绘制坐标轴
画坐标轴说白了就是画两条互相垂直的线段，就是美化线段的代码比较多。我们先设置线段粗细，设置海龟画笔形状，然后抬笔并落到开始绘制的位置，然后turtle.setheading()设置绘制初始角度（默认0°是海龟画笔朝右，水平于屏幕。比如，如果是画y轴，就设置turtle.setheading(90)）。接下来选择绘制线段的颜色，落笔，然后画笔就向前走一段距离，抬笔。这样我们就完成了一个轴的绘制。
2.2标箭头
在原来位置的基础上向左旋转135°，向前画十五格，再退回到原来位置和绘制前角度，然后向右边旋转相同度数，向前，向后，哎，完成箭头绘制！
2.3 写x,y轴标签
首先写之前方向要清楚！然后才到抬笔，海龟画笔按方向移动20格距离，然后落笔开始写信息。如果heading==0,即此时绘制的是x轴，就写上x，第二个参数负责字体样式（这里是"arial"）字体大小（这里大小为24），和其他装饰（这里选了"bold"即加粗字体）。y轴类似
二、轴刻度绘制
1.代码展示
import turtle
import os
class Scale:
@classmethod
def mark(cls, list_num, heading, convert): # list_num存储了坐标轴的所有刻度值
turtle.pensize(1)
turtle.setheading(heading)
turtle.up()
for i in list_num:
if heading == 90: # x轴刻度垂直于屏幕
turtle.goto(i, 0)
turtle.color("black")
elif heading == 0:
turtle.goto(0, i) # i 代表高度
turtle.color("blue")
turtle.down()
turtle.fd(15) # 轴刻度长15格
turtle.up()
turtle.back(30) # 后退30格来标注刻度值
turtle.write(cls.isdiv(i, convert), align="center", font=("arial", 6))
turtle.up()
turtle.home() # 回到起始位置准备下一步的绘制
@classmethod
def isdiv(cls, value, cvt): # value参数表示的是当前刻度值
if value%cvt!=0:
return round(value/cvt, 1) # 若不整除则保留一位小数
else:
return int(value/cvt)
2.代码讲解
这段代码主要分两个部分，第一个是绘制轴刻度和轴刻度值，一个是判断生成的轴刻度值列表中的所有数是否整除转换。那什么是转换呢？因为海龟画函数图像的原理是：根据解析式，得到一定范围内整数x和y值，每个整数x和其对应的y组成一个点。每个整数非常小，所以一个正常大小的图像需要的刻度值就很大。为了让轴刻度值尽可能地按照数学界的大小走，我们将实际刻度值除以一个数让他变小一些。
1.绘制轴刻度并标值
在类的mark()函数中第一行设置画笔大小为一，然后就是设置绘制方向，如果是画x轴的坐标轴刻度那画的方向就是90°，垂直于屏幕，y轴的相反。接下来就是一个循环。list_num是什么东西？他在主程序中会有详细信息。他大概记载了轴刻度要画的位置。抬笔之后就是一个判断，通过判断setheading()内的heading参数确定要去的位置，从而使其能够在正确的位置画出相应的x,y坐标刻度。接下来落笔，按heading方向向前画15个单位，并在画笔退三十个单位长度后使用write()函数写坐标刻度值。
2.isdiv()方法
想完全理解这一段要先阅读下面主程序的“检测环节”内容，我现在做一个简单的介绍，为什么需要isdiv()方法。我们一般会在画刻度后标上相应的刻度值，这样便于我们涉足非欧几何领域。但是如果这个刻度值是以海龟库的单位长度为基准的话，每个刻度值将会很大。而这并不是我们想看到的，原因是这样不便于我们观察研究函数图像，也不方便我们后续用代数方法去计算得到该函数的其他性质。所以我们需要一个参数cvt，用他来除这个刻度值，让其变小一点。
考虑到还有除不尽的问题，我又在isdiv()方法中设立了if ...else条件判断语句。如果不取余不为零，就保留商的一位小数，整除则另起一行直接返回商。毕竟18.0，20.0这样的数字并不好看，同理，18.04738，20.89208也丑陋无比。需要注意的是，我们调用isdiv()到另一个类方法mark()中使用的格式是cls.isdiv()而不是isdiv()。这个语法不是无缘无故出现的，他告诉编译器isdiv()是Scale类中的另一个方法，而不是随便从哪里蹦出来的一个函数。
三、主程序和图像绘制
1.代码展示
import turtle, os, math
import xy_axis#导入存放绘制x,y轴的程序的源文件
from mark_label import Scale#导入存放绘制标坐标轴刻度的程序的源文件
def draw_func(a,b,func,cvt,color):#参数b,a是分别是函数定义域的上界和下界
turtle.speed(0)
turtle.pensize(2)
turtle.color(color)
turtle.penup()
for x in range(a,b,5):
y=func(x)
turtle.goto(x,y)
turtle.pendown()
if x%100==0:#标记能整除一百的坐标
turtle.dot(6,"blue")
turtle.up()
turtle.goto(x+13,y)
turtle.write(f"({int(x/cvt)},{int(y/cvt)})")
turtle.goto(x,y)
turtle.down()
def line(x):
y=2*x+100
return y
def curve2(x):
y=1/20*x*x-1/40*x
return y
def curve3(x):
y=1/2000*x*x*x-1/50*x
return y
def sin(x):
y=math.sin(x*20)*40
return y
def curve4(x):
y=math.sqrt(x)*10
return y
#检测正/负轴长能否被间隔长整除，这保证了所有间隔都相等
def isvalid_len(length,interval):
if (length/2)%interval==0:
return length
else:
print("invalid length or step value")
os._exit(0)
#检测比例因子是否为整数
def dec(num):
if len(str(num).split("."))>1:
return True
else:
return False
#用户输入和检测环节
step = 30
length = 720
cvt1=6
obj=Scale()
R1=isvalid_len(length,step)#R1表示刻度间隔长
if cvt1<0 or cvt1>step or dec(cvt1):
print("invalid convertion")
os._exit(0)
list_num=[-int(R1/2)+i*step for i in range(int(R1/step+1))]#list comprehension
print(list_num)
#绘制坐标轴，这里把坐标轴画在了海龟画布正中央。
turtle.setup(900, 900)
xy_axis.draw_line(-int(R1/2), 0, 0, R1, "black")
xy_axis.draw_line(0, -int(R1/2), 90, R1, "blue")
#绘制轴刻度
obj.mark(list_num, 0, cvt1)
obj.mark(list_num,90,cvt1)
#绘制函数图像
colors=["red","darkblue","orange","lightblue","darkgreen","darkgoldenrod"]
lst=[line,curve2,curve3,sin]
for i in range(len(lst)):
draw_func(-85, 90, lst[i],cvt1, colors[i%len(colors)])
draw_func(0,200,curve4,cvt1,"darkgreen")#该函数图像绘制需要单独列出，因为定义域是[0,∞)
turtle.done()
2.代码讲解
这段代码列举了绘制一次，二次和三次函数，三角函数和幂函数的功能。三次函数要注意，因为函数很陡峭，所以我们尽量把x控制在[-90,90]的范围内，不然到时候你等一分钟都等不到他画完。
该代码分几部分，分别是：1.函数从解析式到图像的绘制方法 2.函数解析式 3.检测用户输入的进率和轴长是否符合规范 4.主程序，绘制坐标轴和函数
1.绘制方法
这个绘制方法其实是很简单易懂的，原理和我们上学时学的什么5点法画曲线相像，只是说他会在函数（在程序中是参数func）的定义域中每个整数x上都取一个点，所以画的满精准。注意，这里 if x%100==0 条件语句内的代码块会把x值整除100的点标上，大家可以根据需要，指定程序去标一些特殊点，比如y==0的点（可以用来求高次方程的近似解），或者和其他函数的交点。
2.函数解析式
这里用到了math库，第一个绘制一次函数f(x)=kx+b(k!=0)，然后依次是二次f(x)=ax^2+bx+c(a!=0)、三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a!=0)、正弦函数f(x)=sin(x)和幂函数f(x)=x^α，其中α等于1/2，可以推出定义域为[0,∞)。
另外，这里一定要注意把函数解析式的系数写小一些，因为之前提过，海龟库的单位1比数学中的长度要小很多，所以如果按正常系数大小来标，你得到的将是一个缩小很多倍的函数曲线——这对于做研究很不方便。
3.检测环节
“用户输入”代码块中找到变量length了么？他表示的是x/y坐标轴的长度（注：x,y轴长度相等，且正轴和负轴长度相等）。那么给他除以二就是把轴拆成了两段，一段是负数轴，一段是正数轴。我们目前想要解决的问题是，到底mark()函数要在轴上画多少个刻度。因为轴刻度之间间隔相等，那不难得出，要画的刻度数量=轴总长(length)/刻度间隔长(step)+1。
有了思路，我们看代码。坐标轴上所有刻度的绘制可以用一个循环实现，该循环从负半轴第一个刻度小突起开始，每次循环都给他加上一个间隔，并将该结果储存至刻度坐标列表list_num中。那要进行多少次循环呢？在程序中是循环总次数可以写成：int(R1/step+1)。这里加一是因为总间隔数量总比总刻度数量要少一。你说list_num列表生成式看不懂？没关系，我们把它拆开来看。
list_num=[-int(R1/2)+i*step for i in range(int(R1/step+1))]
#等价于以下代码：
startPos=-int(R1/2)#坐标起始位置
number=int(R1/step)
list_num=[]
for i in range(number+1):
list_num.append(startPos+i*step)#每一个元素都是坐标刻度的位置
注：我们为了让坐标系处于海龟画布的中心，才把坐标起始位置设成了轴总长的一半的相反数-int(R1/2)。懂了list_num这个记录轴刻度位置的列表，我们审视一下其他环节。
isvalid_len()函数
前面我们提到list_num。大家有没有想过，如果正负半轴长(length/2)无法被刻度间隔长step整除会怎么样（比如length是个奇数）？那么就会出现正负半轴长短不一致的情况。而且因为除不尽，轴刻度的实际间隔并不完全相等。我们想要的是一个好看又对称的坐标轴，所以我们要避免这个情况。isvalid_len()函数华丽登场！他可以检测用户输入的轴长的一半是否能被间隔整除，一旦不能被整除，就打印“无效输入”并用os._exit(0)停止程序。
怪了，那为什么不是轴长，而是他的一半呢？举个例子，间隔大小20，用户输入轴长180。虽然180确实可以被20整除，但是90/20=4.5......每个半轴有4.5个间隔？那这样原点在哪里呢？所以要用半轴长90取余间隔20，如果余数不为零，就表示他无法被整除，就说明length或step的值有问题，反之亦然。
dec()函数
另外还有一个检测cvt1大小的代码块。cvt1是一个调整比例的数，所以他既不能大于间隔，也不能小于0，还不能是小数。判断大小的在dec()函数下面的“用户输入和检测环节”中有写，这里就不再赘述。而判断cvt1是否为小数的函数是dec()。他把整型转为字符串，并调用split()函数，以"."为标识符，将该字符串的小数部分和整数部分分开并存储进列表中，返回该列表。随后我们再用len()判断列表中有两个还是一个元素。两个说明是小数，反之是整数。
4.主程序
接下来就是主程序了，分为三个部分，绘制坐标轴，绘制轴刻度，绘制函数。(可能内容会有与之前重复的部分）
turtle.setup()是设置海龟画布的大小，有他没他都无所谓，全凭个人喜好。draw_line()第一第二个参数是x,y值，他代表轴开始画的具体坐标，反正在负半轴。第三个参数是海龟画笔的起始绘制方向。输入0代表横着画，水平于屏幕；90代表竖着画，垂直于屏幕。绘制轴刻度没什么好说的
绘制函数直线曲线这里使用了个for循环遍历列表lst。lst里面每一个元素都是一个对应关系，这样一来，下次再新添加函数解析式时，只要把他门的自定义函数名写到列表lst中就可以生成它对应的图像了，多方便！当然，像y=x^(1/2)这种x定义域不能为负的函数就要单独拎出来处理，不过除了他这种以外，其他函数都可以在循环中，参数基本都是一样的。颜色用的是老方法：取余循环取出列表colors中的元素当作直线/曲线的颜色。
补充
在这里补充一个有趣的数学现象。我们注意到，如果刻度间隔长step能被cvt整除的话，所有坐标值都能被cvt整除。在初等数论中，我们有：若a|b, b|c 则a|c（a, b, c均为整数）。在列表生成式的分解中我们看到，每一个坐标刻度值都可以用startPos+i*step表示。我们已经用isvalid_len()函数测过，length/2是可以被step整除的，且step整除他自己。根据另外一条定理：若a|b, a|c 则a|bx+cy (x,y均是不为零的整数），因此我们知道step|startPos+i*step，那么cvt|startPos+i*step（cvt为整数，step为整数），证毕。
总结
海龟库只能实现一些基本图像的绘制，且这个绘制方法对于绘制三角函数，指数对数类函数等还是有一定限制的——毕竟我们从他的绘制原理不难看出他的绘制精度还有待提高。他实际上不是专门设计出来绘制图像的库。随着大家学习的深入，会接触到像matplotlib，numpy这种强大的第三方库，使用它绘制各类函数图像会更加的简单快捷，因为他的方法都是包装好了的，你不需要写多少代码他就能帮你生成图像。
不过不论是海龟还是numpy，他们之间绘制图像的底层逻辑都是十分相似的，因此这篇文章足以让你了解部分底层逻辑，拓展知识。