base-stock 策略的相关证明

base-stock 策略适用一个多阶段报童模型，构建动态规划模型：

可变订货成本 cc， 单位库存持有成本 hh，缺货惩罚成本 ππ

状态变量：每阶段初始库存水平 xt−1xt−1
决策变量：补货上限 ytyt, （yt=xt−1+Qtyt=xt−1+Qt，QtQt 为订货量）
状态转移方程： xt+1=yt−ξtxt+1=yt−ξt
最优指标函数：ft(xt−1)ft(xt−1)，表示既定初始库存 xt−1xt−1 时， 从 tt 阶段到最后一阶段的最小成本和。

递推方程（省掉下标）：

f(x)=minx≤yL(y)+c(y−x)+∫∞0f(y−ξ)dξf(x)=minx≤yL(y)+c(y−x)+∫0∞f(y−ξ)dξ

其中：
L(y)=h∫y0(y−ξ)ϕ(ξ)dξ+π∫∞y(ξ−y)ϕ(ξ)dξ=hI++πI−=hI++π(I+−y+μ)L(y)=h∫0y(y−ξ)ϕ(ξ)dξ+π∫y∞(ξ−y)ϕ(ξ)dξ=hI++πI−=hI++π(I+−y+μ)

定义另一个表达式：

G(y)=L(y)+cy+∫∞0f(y−ξ)dξG(y)=L(y)+cy+∫0∞f(y−ξ)dξ

当 ft+1ft+1 为凸函数时，具有以下性质：

1. G(y)G(y) 为凸函数
2. tt 阶段的最优订货策略为 base-stock 策略
3. f(x)f(x) 为凸函数

证明：
1. 显然 L(y)L(y) 为凸函数，其一阶导数为 (h+π)∫y0ϕ(ξ)dξ−π(h+π)∫0yϕ(ξ)dξ−π。第二项是线型。第三项根据性质：一个凸函数在一个随机变量上的期望仍然是凸函数。因此 G(y)G(y) 是凸函数。
2. 根据凸函数的图形特点可以直接得出第二个命题的证明。
3. 根据性质：最小化一个联合凸函数形成的单变量函数仍是凸函数，可以证明第三个命题。

通过从最后一阶段递推，可以得出每个阶段的最优订货策略都为： base-stock 策略，这与 (s, S) 策略的最大区别在于：多阶段报童模型里面没有固定订货成本，若含有固定订货成本 KK，则需要证明递推函数为 K-凸，然后得出最优订货策略 (s, S).

关键节点：使 L(y)L(y) 最小的点 ππ+hππ+h

还有一个定理：若界限函数的斜率为 −c−c，则每个阶段的补货上限 S=π−cπ+hS=π−cπ+h.

证明：此时必须假设界限函数的形式为 −cx−cx，含义是多余的库存可以按进价处理掉，而缺货的必须补上。先证明最后一个阶段的最小值在 SS 处达到，然后递推分析即可得证。 □◻