java - 一道算法问题？

Question

一位老师教一个班级的学生们四门课程,分别是数学、音乐、英语和自然课,对于在上这些课程的学生们满足以下条件每节课程只有3个学生。 这个班任意每两个学生至少一起上一门课程。 编写一段java程序, 计算该班最多可以有多少学生并生成所有符合上诉条件的分组可能。

Answer 1

首先从数学的角度考虑这道题：

用图论结合组合数学的办法，将每个学生看作是一个节点，每门课程看作是一个边，连接上这门课程的三个学生。由于任意两个学生至少一起上一门课程，所以任意两个节点都至少有一个共同的边。这实际上是一个完全图的定义，其中每个节点都与其他所有节点相连。

在完全图中，每个节点的度（即与其相连的边的数量）等于节点总数减一。因此，我们可以得出以下公式：

度 = 总节点数 - 1

又因为每门课程只有三个学生，所以每条边连接三个节点。所以，每个节点的度应该是2的倍数。因此，我们可以得出以下公式：

总节点数 - 1 = 2 * n (n为非负整数)

解这个方程，我们可以得到总节点数（即学生数）应该是奇数。而且，由于每门课程只能有三个学生，所以最多的学生数应该是4*3=12。

所以，该班最多可以有1, 3, 5, 7, 9, 11或12个学生。好了，上面的表述我们是人的思维思考数学问题，现在把它转化成计算机能理解的思维，我们在这里使用回溯法。创建一个空的分组列表。然后，我们逐个添加学生到每个课程，每次添加后，我们检查是否满足所有条件（每门课程只有三个学生，任意两个学生至少一起上一门课程）。如果满足，我们就将这个分组添加到分组列表中。如果不满足，我们就撤销上一步的操作，并尝试下一个可能的操作。我们重复这个过程，直到找到所有的分组可能。
代码表示下：

import java.util.*;public class CourseGrouping {    private static final int MAX_STUDENTS = 12;    private static final int COURSE_COUNT = 4;    private static final int STUDENTS_PER_COURSE = 3;        private int[][] courses = new int[COURSE_COUNT][STUDENTS_PER_COURSE];    private int[] studentCourses = new int[MAX_STUDENTS + 1];  // 存储每个学生选的课程        public void solve() {        for (int students = 1; students <= MAX_STUDENTS; students += 2) {  // 只考虑奇数个学生            Arrays.fill(studentCourses, 0);  // 重置每个学生的课程            if (group(students, 0, 0)) {                System.out.println("For " + students + " students:");                printCourses(students);            }        }    }        // 尝试为每门课程分配学生    private boolean group(int students, int course, int count) {        if (course == COURSE_COUNT) {            return count == students && check(students);  // 检查是否所有学生都被分配，并且每个学生至少有两门课程        }                for (int i = 1; i <= students; i++) {            if ((studentCourses[i] >> course & 1) == 0) {  // 如果这个学生还没有这门课程                courses[course][count % STUDENTS_PER_COURSE] = i;  // 给这个学生分配这门课程                studentCourses[i] |= 1 << course;  // 更新这个学生的课程                                if (group(students, course, count + 1)) {  // 递归尝试分配下一个学生                    return true;                }                                studentCourses[i] &= ~(1 << course);  // 如果不能分配，撤销这个分配            }        }                // 如果这门课程已经分配了足够的学生，尝试下一门课程        if (count % STUDENTS_PER_COURSE == 0) {            if (group(students, course + 1, 0)) {                return true;            }        }                return false;    }        // 检查每个学生是否至少有两门课程    private boolean check(int students) {        for (int i = 1; i <= students; i++) {            if (Integer.bitCount(studentCourses[i]) < 2) {                return false;            }        }        return true;    }        // 打印每门课程的学生    private void printCourses(int students) {        for (int i = 0; i < COURSE_COUNT; i++) {            System.out.print("Course " + (i + 1) + ": ");            for (int j = 0; j < STUDENTS_PER_COURSE; j++) {                System.out.print(courses[i][j] + " ");            }            System.out.println();        }        System.out.println();    }        public static void main(String[] args) {        new CourseGrouping().solve();    }}

Answer 2

这道题可以用图的着色算法来解决。我们可以把每一个学生看作图中的一个节点，如果两个学生在同一门课程中，那么就在他们之间画一条边。然后，我们给每个节点赋予4种颜色（分别对应四门课程），并尝试对图进行着色，使得任何两个相邻的节点颜色不同。

我们使用递归的方式来解决这个问题。对于当前节点，我们遍历所有可能的颜色，并查看哪种颜色不会与已经着色的相邻节点的颜色冲突。如果找到了合适的颜色，我们就继续对下一个节点进行着色，直到所有的节点都被着色。

下面是一个简单的Java程序来解决这个问题：

import java.util.*;class Node {    int id;    List<Node> neighbors;    int[] colors;    public Node(int id) {        this.id = id;        this.neighbors = new ArrayList<>();        this.colors = new int[4]; // 0 represents no color, 1, 2, 3 represent the 3 possible colors.    }}public class Main {    public static void main(String[] args) {        int n = 3; // The number of students per course.        Node[] nodes = new Node[n * 4]; // One node for each possible group of students.        for (int i = 0; i < n * 4; i++) {            nodes[i] = new Node(i);        }        // Connect the nodes based on the conditions.        for (int i = 0; i < n * 4; i++) {            for (int j = i + 1; j < n * 4; j++) {                nodes[i].neighbors.add(nodes[j]);                nodes[j].neighbors.add(nodes[i]);            }        }        List<List<Node>> solutions = new ArrayList<>(); // List of all possible groupings.        dfs(0, new ArrayList<>(), solutions, nodes);        System.out.println("Number of possible groupings: " + solutions.size());        System.out.println("First possible grouping: " + solutions.get(0));    }    private static void dfs(int course, List<Node> group, List<List<Node>> solutions, Node[] nodes) {        if (group.size() == 3) { // We've found a valid grouping.            solutions.add(new ArrayList<>(group));            return;        }        for (Node neighbor : nodes[course].neighbors) {            if (group.contains(neighbor)) continue; // Skip if already in the current group.            if (group.stream().mapToInt(Node::getId).distinct().count() + neighbor.id > 3) continue; // Skip if adding this neighbor will cause a conflict.            if (neighbor.colors[course] != 0) continue; // Skip if this neighbor has already been assigned a color for this course.            neighbor.colors[course] = group.stream().mapToInt(Node::getId).max() + 1; // Assign a color to this neighbor.            group.add(neighbor); // Add the neighbor to the current group.            dfs(course + 1, group, solutions, nodes); // Recurse on the next course.            group.remove(group.size() - 1); // Backtrack, remove the neighbor from the current group.        }    }}