具有两个循环和两个递归调用的算法的时间复杂度

Question

这是一个使用两个递归调用对数组进行排序的算法。我试图粗略地计算其时间复杂度，但不确定。我知道两个for循环需要n次，但是递归调用怎么办，我如何计算它们呢？任何人都可以用简单的数学方法帮助计算。

MySort (a[1..n] , n) {

         If (n <= 2) {
            If (first element > second) && (n = 2) then do
               { Interchange a[1] & a[2]; }
         End if
         }
         Else
         { Assign value to min and max by very first element of array.
         for (i : = 1 to n) do 
            { If (a[i] > max) then
              max = a[i]; 
         Else if (a[i] < min) then
                  min = a[i]; //Get max and min element from the array. }
         End for
         Calculate MID value of the MAXIMUM & MINIMUM element found. 
         For i : = 1 to n do 
         {
            If(a[i] < mid) then { Increment Count1 by 1; and P[Count1]=a[i] }
            Else if (a[i] > mid) then { Increment Count2 by 1; and Q[Count2]=a[i] } 
    //Divide the major array to sub-arrays; 
    //Count1 and Count2 are counters to make check on the size of sub-arrays generated. 
             }
        End for
        MySort (P, Count1);
           MSort (Q, Count2); }
        End if}

Answer 1

有两个循环，后跟两个递归调用。理想情况下，每次调用都会将输入大小减半，从而得到n/2的值。这给出了一个递归关系：

T(n) = n + n + T(n/2) + T(n/2)
T(n) = 2n + 2T(n/2)

这与主定理页面上给出的表格的最后一行相匹配：

T(n) = O(nlogn)

如果输入输入在每次调用时不均匀划分，则需要n^2时间，因为每次调用时大小可能只能减少1：

T(n) = 2n + T(n-1) + T(1)
T(n) = nT(1) + 2n + 2(n-1) + 2(n-2) + ...
T(n) = O(n^2)