C中浮点数据类型的精度

Question

为什么浮点数据类型的精度不与其大小成正比增长？例如：

std::cout << sizeof(float) << "\n";  // this gives 4 on my machine "debian 64 bit" with "gcc 6.3.0"  
std::cout << std::numeric_limits<float>::digits10  << "\n"; // gives 6

std::cout << sizeof(double) << "\n";  // gives 8
std::cout << std::numeric_limits<double>::digits10 <<  "\n"; // gives 15

std::cout << sizeof(long double) <<  "\n";  // gives 16
std::cout << std::numeric_limits<long double>::digits10  << "\n"; // gives 18

正如您所看到的，Double的精度大约是浮动精度的两倍，这是有意义的，因为Double的大小是的两倍。浮点。

但这与双精度和长双精度的情况不同，长双精度的大小是128位，是64位双精度的两倍，但其精度只多出三位！！

我不知道浮点数是如何实现的，但从理性的角度来看，仅为三位精度使用64位内存是否有意义？！

我四处搜索，但没有找到一个简单明了的答案。如果有人能解释为什么长双精度只比双精度高三位数，你能解释一下为什么这与双精度和浮点精度不同吗？

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更好的精度，这显然会以性能为代价？

Answer 1

你的问题中有许多错误的假设

首先，C中没有关于类型大小的要求。该标准仅要求每种类型的最小精度，并且。。。

... double类型提供的精度至少与float相同，long double类型提供的精度至少与double相同。float类型的值集是double类型的值集的子集；double类型的值集是长double类型的值集的子集。浮点类型的值表示由实现定义。

http://www.open-std.org/jtc1/sc22/wg21/docs/papers/2012/n3337.pdf

大多数现代实现将浮点和双精度映射到IEEE-754单精度和双精度格式，因为对它们的硬件支持是主流。然而，长双精度并没有得到如此广泛的支持，因为很少有人需要比双精度更高的精度，而这些精度的硬件成本要高得多。因此，一些平台将其映射到IEEE-754双精度，即与双精度相同。如果底层硬件支持，其他一些人将其映射到80位IEEE 754扩展精度格式。否则，长双精度将由算术或IEEE-754四倍精度表示

此外，精度也不会与类型中的位数成线性比例。很容易看出，尽管只有两倍的存储空间，但双精度是浮点精度的两倍多，范围比浮点宽8倍，因为它的有效位为53位，而浮点中为24位，指数位为3位。类型也可以具有陷阱表示或填充位，因此不同的类型可能具有不同的范围，即使它们具有相同的大小并且属于同一类别（整数或浮点）

所以这里重要的是std：：numeric\u极限

• -malign-双和-mno-alie-Double用于控制long Double
的对齐方式
• -m96bit-long-双和-m128bit-long-双用于更改填充大小
• -mlong-dule-64，-mlong-dule-80和-mlong-dule-128用于控制底层long Double实现

通过更改选项，您将获得以下长双精度的结果

• -mlong-double-128:size=16，digits10=33，digits2=113
• -m96位长双精度：大小=12，数字10=18，数字2=64
• -mlong-double-64:size=8，digits10=15，digits2=53

如果禁用填充，则大小将为10，但由于未对齐，这将以性能为代价。查看编译器资源管理器上的更多演示

在PowerPC中，更改浮点格式时也可以看到相同的现象。使用-mabi=ibmlongdouble（双-双算术，这是默认值），您将得到（size，digits10，digits2）=（16，31，106），但使用-mabi=ieeelongdouble，元组将变为（16，33，113）

有关更多信息，您应该阅读https://en.wikipedia.org/wiki/Long_double

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更好的精度

要搜索的关键字是任意精度的算术。在任意精度算术软件列表中可以找到各种库。您可以在标记bigint、biginger或任意精度中找到更多信息

Answer 2

除了浮点类型必须满足的一些最低级别外，C标准没有对浮点类型设定固定的要求。

很可能您使用的C实现针对的是英特尔处理器。除了常见的IEEE-754基本32位和64位二进制浮点格式外，Intel还有80位格式。您的C实现可能将其用于长double。

英特尔80位格式的有效位比64位双精度格式多11位。（实际上它使用64，其中双精度格式使用52，但其中一个保留为显式前导1。）11位以上意味着2^{11=2048倍的有效位值，这大约是三位以上的十进制数字。}

80位格式（即10个字节）优先与16个字节的倍数对齐，因此包括6个字节的填充，以使长双字节大小为16个字节的倍数。

Answer 3

“精度”并不是浮点值的全部。这也是关于“幅度”（但不确定该术语是否正确！）：表示的值可以变大（或变小）？

为此，请尝试打印每种类型的max_exponent：

std::cout << "float: " << sizeof(float) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<float>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<float>::max_exponent << "\n";

std::cout << "double: " << sizeof(double) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<double>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<double>::max_exponent << "\n";

std::cout << "long double: " <<  sizeof(long double) << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<long double>::digits << "\n";
std::cout << std::numeric_limits<long double>::max_exponent << "\n";

ideone上的输出：

float: 4
24
128
double: 8
53
1024
long double: 16
64
16384

因此，额外的位并不都用于表示更多的数字（精度），而是允许指数更大。使用IEE 754long Double中的措辞主要增加了指数范围而不是精度。

我上面的ideone示例显示的格式显示（可能）“x86扩展精度格式”，它为整数部分分配1位，为小数部分分配63位（总共64位），为指数分配15位（2^(15-1) = 16384, 1位用于指数的符号）。

注意，C标准只要求长双精度至少与双精度相同，因此长双精度可以是所示x86扩展精度格式（最有可能）的同义词，也可以是更好的格式（仅限PowerPC上的AFAIK GCC）。

我还想知道如何在不定义自己的数据类型的情况下获得更好的精度，这显然会以性能为代价？

您需要自己编写（当然是一种学习体验，最好不要为生产代码编写）或使用库，如GNU MPFR或Boost。多精度。