基于动态规划的背包物品检索

Question

我是动态规划新手，已经尝试了我的第一个DP问题。问题陈述是

给定一个尺寸为C的背包，以及n个尺寸为s[]且值为v[]的物品，最大化可放入背包的物品的容量。一个物品可以重复任意次数。（允许重复物品）。

虽然我能够建立递归关系并创建DP表，最终得到背包中可以放入的最大值，但我无法设计一种方法来检索必须选择哪些值才能得到所需的和。

以下是我的解决方案：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
    int s[] = { 1, 3, 4, 5, 2, 7, 8 , 10};
    int v[] = { 34, 45, 23, 78, 33, 5, 7 , 1};
    int n = ( (sizeof(s)) / (sizeof(s[0])) );
    vector<int> backtrack;
    int C = 15;
    int pos;
    int m[20];
    m[0] = 0;
    int mx = 0;
    for ( int j = 1; j <= C; j++) {
        mx = 0;
        m[j] = m[j-1];
        pos = j-1;  
        for ( int i = 0; i < n; i++) {
            mx = m[i-s[i]] + v[i];
            if ( mx > m[i] ) {
                m[i] = mx;
                pos = i - s[j];
            }
        }   
        backtrack.push_back(pos);
    }
    cout << m[C] << endl<<endl;
    for ( int i = 0; i < backtrack.size(); i++) {
        cout << s[backtrack[i]]  <<endl;
    }   
    return 0;
}

在我的解决方案中，我尝试将选择的最大值项的位置存储在向量中，并最终打印它们。然而，这似乎并没有给我正确的解决方案。

运行该程序会产生：

79

2
3
0
5
2
7
8
10
34
45
23
78
33
5
7

从输出中可以明显看出，输出中的数字不能是所选项目的大小，因为输出中没有显示大小为0的项目。

我希望你能帮我找到逻辑或实现中的错误。谢谢

Answer 1

你在遵循贪婪的方法。这很聪明，但很有启发性。我不会给你正确的代码，因为这可能是一个家庭作业，但递归函数背包如下所示：

knapsack(C): maximum profit achivable using a knapsack of Capacity C
knapsack(C) = max { knapsack(C-w[i]) + v[i] } for all w[i] <= C
knapsack(0) = 0

代码：

dp(0) = 0;
for i = 1 to C
  dp(i) = -INF;
  for k = i-1 downto 0
     if w[k] < i then
        dp(i) = max{dp(i-w[k]) + v[k], dp(i)};
print dp(Capacity);