加油站动态规划

Question

你和你的朋友开车去提华纳度春假。你在为旅行存钱，所以你想把路上的油费降到最低。为了最小化你的汽油成本，你和你的朋友整理了以下信息。首先，你的汽车可以可靠地行驶m英里的油箱（但没有进一步）。你的一个朋友从网上挖掘了加油站的数据，并绘制了你路线上的每一个加油站，以及该加油站的汽油价格。具体而言，他们创建了一个从最近到最远的n+1个加油站价格列表，以及两个相邻加油站之间的n个距离列表。塔科马是0号加油站，蒂华纳是N号加油站。为了方便起见，他们把油费换算成你的汽车每英里行驶的价格。此外，还计算了相邻两个加油站之间以英里为单位的距离。您将开始您的旅程与一个完整的油箱，当您到达蒂华纳，您将为回程丰满。你需要确定在哪些加油站停车，以最大限度地减少旅途中的油费。

示例输入：

价格（每英里美分）[12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21]

距离（英里）[31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15]

你的汽车加一箱油可以行驶170英里。

我的输出：

这次旅行的最低费用为117.35美元

加油站停车地点:[1,6,9,13,17,19]

我已经解决了这个问题，但我不确定我是否做对了。有没有人能给我一些建议，如果是错误的，给我一个正确的方向？提前谢谢你。

public class GasStation {

/** An array of gas prices.*/
private int[] myPrice;
/** An array of distance between two adjacent gas station.*/
private int[] myDistance;
/** Car's tank capacity.*/
private int myCapacity;
/** List of gas stations to stop at to minimize the cost.*/
private List<Integer> myGasStations;


/**
 * A constructor that takes in a price list, distance list, and the car's tank capacity.
 * @param thePrice - price list
 * @param theDistance - distance list
 * @param theCapacity - the car's capacity
 */
public GasStation(final int[] thePrice, final int[] theDistance,
        final int theCapacity) {
    myPrice = thePrice;
    myDistance = theDistance;
    myCapacity = theCapacity;
    myGasStations = new ArrayList<>();
}


/**
 * Calculate for the minimum cost for your trip.
 * @return minimum cost
 */
public int calculateMinCost() {

    int lenP = myPrice.length;
    int lenD = myDistance.length;
    if (lenP == 0 || lenD == 0 || myCapacity == 0) return 0;

    // gas station -> another gas station (moves) 
    Map<Integer, Integer> gasD = new HashMap<>();
    int[] D = new int[lenD + 1];
    D[0] = 0;

    // calculate the total distance 
    for (int i = 0; i < lenD; i++) {
        D[i + 1] = D[i] + myDistance[i];
    }

    int len = D.length;
    for (int i = 1; i < len - 1; i++) {
        int j = len - 1;
        while (D[j] - D[i] >= myCapacity) {
            j--;
        }
        gasD.put(i, j - i);
    }

    int min = Integer.MAX_VALUE;

    for (int i = 1; i < len; i++) {
        int temp = 0;
        int cur = i;
        List<Integer> tempList = new ArrayList<>();
        if (D[i] <= myCapacity) {
            temp = D[cur] * myPrice[cur];
            tempList.add(cur);
            int next = gasD.get(cur) + cur;
            while (next < len) {
                temp += (D[next] - D[cur]) * myPrice[next];
                cur = next;
                tempList.add(cur);
                if (gasD.containsKey(cur)) next = gasD.get(cur) + cur;
                else break;
            }

            if (temp < min) {
                min = temp;
                myGasStations = tempList;
            }

        }
    }


    return min;
}

/**
 * Get gas stations to stop at.
 * @return a list of gas stations to stop at
 */
public List<Integer> getGasStations() {
    return myGasStations;
}

}

Answer 1

让站点i的最小再填充成本表示为成本[i]

给出了问题说明，该成本如何表示？
我们知道，每次下一次重新加注必须在距离上次加注170英里的范围内进行，
因此最小成本可以表示如下：

成本[i]=MIN{成本[j]+价格[i]*distance_from_i_to_j}对于每个j，使得距离（i,j)<=170 mi

对于基本情况成本[0]=0如果我们不考虑站0的全部油箱成本，否则基本情况为成本[0]=170*价格[0]

我将假设我们不考虑站0的全部油箱成本，并且在最终点即站19不需要再加注

通过观察上面定义的递归关系，我们可以很容易地注意到同一个子问题被调用不止一次，这意味着我们可以利用动态规划解决方案来避免可能的指数级运行时间。

还需要注意的是，由于我们不需要在第19站重新填充，所以我们应该只计算在1站到18站重新填充的成本，即cost[1]，cost[2]，..，cost[18]。这样做之后，问题的答案将是min{cost[14],cost[15],cost[16],cost[17],cost[18]}因为距离第19站170英里以内的站点只有第14、15、16、17、18站点，所以我们可以通过在这5个站点中的一个重新填充来到达19站点。

在我们定义了上面的递归关系和base case之后，我们可能会用下面的方式将它转换成循环：

int price[] =  {12,14,21,14,17,22,11,16,17,12,30,25,27,24,22,15,24,23,15,21}; //total 20 stations

int distance[] = {31,42,31,33,12,34,55,25,34,64,24,13,52,33,23,64,43,25,15};  //total 19 distances      

int N=19;
int[] cost = new int[N];    
int[] parent = new int[N]; //for backtracking

cost[0] = 0; //base case (assume that we don't need to fill gas on station 0)

int i,j,dist;
int maxroad = 170;

for(i=0; i<N; i++) //initialize backtracking array
    parent[i] = -1;


for(i=1; i<=N-1; i++) //for every station from 1 to 18
{

        int priceval = price[i]; //get price of station i               
        int min = Integer.MAX_VALUE;                
        dist = 0;            

        for(j=i-1; j>=0; j--) //for every station j within 170 away from station i
        {   
            dist += distance[j]; //distance[j] is distance from station j to station j+1
            if(dist>maxroad)
               break;   

            if((cost[j] + priceval*dist)<min) //pick MIN value defined in recurrence relation                       
               {
                min = cost[j] + priceval*dist;
                parent[i] = j;
               }

        }

        cost[i] = min;              

}


//after all costs from cost[1] up to cost[18] are found, we pick
//minimum cost among the stations within 170 miles away from station 19
//and show the stations we stopped at by backtracking from end to start

int startback=N-1;
int answer=Integer.MAX_VALUE;
i=N-1;
dist=distance[i];
while(dist<=maxroad && i>=0)
{
   if(cost[i]<answer)
      {
       answer = cost[i];
       startback=i;
      }  
   i--;
   dist += distance[i];
}


System.out.println("minimal cost=" + answer + "\nbacktrack:");

i=startback;
while(i>-1) //backtrack
{
    System.out.println(i + " ");
    i = parent[i];
}