连接所有岛屿的最低费用是多少？

Question

有一个大小为N x M的网格，有些单元是岛，用“0”表示，其他的是水。每个水电池上都有一个数字，表示在该电池上做桥的成本。你必须找到所有岛屿都能连接起来的最小成本。如果一个单元格共享一条边或一个顶点，则该单元格与另一个单元格相连。

用什么算法可以解决这个问题？如果N，M的值很小，比如说NxM<=100，那么用什么作为蛮力方法呢？

示例：在给定的图像中，绿色单元格表示岛屿，蓝色单元格表示水，浅蓝色单元格表示应该在其上做桥的单元格。因此，对于下面的图像，答案将是17。

Answer 1

为了解决这个问题，我将使用一个整数规划框架并定义三组决策变量：

• x_ij:表示是否在水上位置（i,j）建桥的二进制指示变量。
• y_ijbcn:一个二进制指示器，用于指示水位置（i,j）是否是连接b岛和C岛的第n个位置。
• l_bc:一个二进制指示变量，用于指示岛屿b和c是否直接链接（也就是您只能在桥格上行走，从b到c）。

对于建桥成本c_ij，最小化的目标值为sum_ij c_ij*x_ij。我们需要在模型中添加以下约束条件：

• 我们需要确保y_ijbcn变量有效。我们总是只有在那里建一座桥才能到达一个水广场，所以对于每个水位置（i,j）y_ijbcn<=x_ij。此外，如果（i,j）不与岛B接壤，则y_ijbc1必须等于0。最后，对于n>1，只有在步骤n-1中使用了相邻水位置时，才能使用y_ijbcn。将N(i,j)定义为(i,j)相邻的水平方，这等价于y_ijbcn<=sum_{（l,m）in N（i,j)}y_lmbc(n-1)。
• 我们需要确保只有当b和c链接时才设置l_bc变量。如果我们将i(c)定义为与岛c相邻的位置，则可以使用l_bc<=sum_{（i,j）in i(c)，n}y_ijbcn来实现。
• 我们需要确保所有岛屿都是联系在一起的，要么是直接的，要么是间接的。这可以通过以下方式实现：对于每个岛的非空真子集S，要求S中至少有一个岛与S的补码中至少有一个岛相连，我们称之为S'。在约束中，我们可以通过为大小<=K/2（其中K是岛的数量）的每个非空集S添加一个约束来实现这一点，sum_{b In S}sum_{c In S'}l_bc>=1

对于具有K个岛、W个水平方和指定最大路径长度N的问题实例，这是一个具有O(K^2wn)变量和O(K^2wn+2^K)约束的混合整数规划模型。显然，随着问题大小变大，这将变得难以解决，但对于您关心的大小，这可能是可以解决的。为了了解可伸缩性，我将使用pulp包在python中实现它。我们先从问题底部有3个岛屿的较小的7×9地图说起：

import itertools
import pulp
water = {(0, 2): 2.0, (0, 3): 1.0, (0, 4): 1.0, (0, 5): 1.0, (0, 6): 2.0,
         (1, 0): 2.0, (1, 1): 9.0, (1, 2): 1.0, (1, 3): 9.0, (1, 4): 9.0,
         (1, 5): 9.0, (1, 6): 1.0, (1, 7): 9.0, (1, 8): 2.0,
         (2, 0): 1.0, (2, 1): 9.0, (2, 2): 9.0, (2, 3): 1.0, (2, 4): 9.0,
         (2, 5): 1.0, (2, 6): 9.0, (2, 7): 9.0, (2, 8): 1.0,
         (3, 0): 9.0, (3, 1): 1.0, (3, 2): 9.0, (3, 3): 9.0, (3, 4): 5.0,
         (3, 5): 9.0, (3, 6): 9.0, (3, 7): 1.0, (3, 8): 9.0,
         (4, 0): 9.0, (4, 1): 9.0, (4, 2): 1.0, (4, 3): 9.0, (4, 4): 1.0,
         (4, 5): 9.0, (4, 6): 1.0, (4, 7): 9.0, (4, 8): 9.0,
         (5, 0): 9.0, (5, 1): 9.0, (5, 2): 9.0, (5, 3): 2.0, (5, 4): 1.0,
         (5, 5): 2.0, (5, 6): 9.0, (5, 7): 9.0, (5, 8): 9.0,
         (6, 0): 9.0, (6, 1): 9.0, (6, 2): 9.0, (6, 6): 9.0, (6, 7): 9.0,
         (6, 8): 9.0}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1)], 1: [(0, 7), (0, 8)], 2: [(6, 3), (6, 4), (6, 5)]}
N = 6

# Island borders
iborders = {}
for k in islands:
    iborders[k] = {}
    for i, j in islands[k]:
        for dx in [-1, 0, 1]:
            for dy in [-1, 0, 1]:
                if (i+dx, j+dy) in water:
                    iborders[k][(i+dx, j+dy)] = True

# Create models with specified variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x", water.keys(), lowBound=0, upBound=1, cat=pulp.LpInteger)
pairs = [(b, c) for b in islands for c in islands if b < c]
yvals = []
for i, j in water:
    for b, c in pairs:
        for n in range(N):
            yvals.append((i, j, b, c, n))

y = pulp.LpVariable.dicts("y", yvals, lowBound=0, upBound=1)
l = pulp.LpVariable.dicts("l", pairs, lowBound=0, upBound=1)
mod = pulp.LpProblem("Islands", pulp.LpMinimize)

# Objective
mod += sum([water[k] * x[k] for k in water])

# Valid y
for k in yvals:
    i, j, b, c, n = k
    mod += y[k] <= x[(i, j)]
    if n == 0 and not (i, j) in iborders[b]:
        mod += y[k] == 0
    elif n > 0:
        mod += y[k] <= sum([y[(i+dx, j+dy, b, c, n-1)] for dx in [-1, 0, 1] for dy in [-1, 0, 1] if (i+dx, j+dy) in water])

# Valid l
for b, c in pairs:
    mod += l[(b, c)] <= sum([y[(i, j, B, C, n)] for i, j, B, C, n in yvals if (i, j) in iborders[c] and B==b and C==c])

# All islands connected (directly or indirectly)
ikeys = islands.keys()
for size in range(1, len(ikeys)/2+1):
    for S in itertools.combinations(ikeys, size):
        thisSubset = {m: True for m in S}
        Sprime = [m for m in ikeys if not m in thisSubset]
        mod += sum([l[(min(b, c), max(b, c))] for b in S for c in Sprime]) >= 1

# Solve and output
mod.solve()
for row in range(min([m[0] for m in water]), max([m[0] for m in water])+1):
    for col in range(min([m[1] for m in water]), max([m[1] for m in water])+1):
        if (row, col) in water:
            if x[(row, col)].value() > 0.999:
                print "B",
            else:
                print "-",
        else:
            print "I",
    print ""

使用来自纸浆包的默认求解器（CBC求解器）运行并输出正确的解需要1.4秒：

I I - - - - - I I 
- - B - - - B - - 
- - - B - B - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - - B - - - - 
- - - I I I - - - 

接下来，考虑问题顶部的完整问题，这是一个13 x 14的网格，有7个岛：

water = {(i, j): 1.0 for i in range(13) for j in range(14)}
islands = {0: [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (2, 0), (2, 1)],
           1: [(9, 0), (9, 1), (10, 0), (10, 1), (10, 2), (11, 0), (11, 1),
               (11, 2), (12, 0)],
           2: [(0, 7), (0, 8), (1, 7), (1, 8), (2, 7)],
           3: [(7, 7), (8, 6), (8, 7), (8, 8), (9, 7)],
           4: [(0, 11), (0, 12), (0, 13), (1, 12)],
           5: [(4, 10), (4, 11), (5, 10), (5, 11)],
           6: [(11, 8), (11, 9), (11, 13), (12, 8), (12, 9), (12, 10), (12, 11),
               (12, 12), (12, 13)]}
for k in islands:
    for i, j in islands[k]:
        del water[(i, j)]

for i, j in [(10, 7), (10, 8), (10, 9), (10, 10), (10, 11), (10, 12),
             (11, 7), (12, 7)]:
    water[(i, j)] = 20.0

N = 7

MIP求解者通常较快地得到好的解，然后花费大量的时间来证明解的最优性。使用与上面相同的求解器代码，程序不会在30分钟内完成。但是，您可以为求解器提供一个超时时间，以获得一个近似解：

mod.solve(pulp.solvers.PULP_CBC_CMD(maxSeconds=120))

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - B - - - B - - - 
- - - B - B - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - - - - B - - 
- - - - - B - I - - - - B - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I 

mod.solve(pulp.solvers.GUROBI(timeLimit=120))

这实际上找到了一个目标值为16的解，一个比OP能够用手找到的更好的解！

I I - - - - - I I - - I I I 
I I - - - - - I I - - - I - 
I I - - - - - I - B - B - - 
- - B - - - - - - - B - - - 
- - - B - - - - - - I I - - 
- - - - B - - - - - I I - - 
- - - - - B - - B B - - - - 
- - - - - B - I - - B - - - 
- - - - B - I I I - - B - - 
I I - B - - - I - - - - B - 
I I I - - - - - - - - - - B 
I I I - - - - - I I - - - I 
I - - - - - - - I I I I I I