如何解释Java中double的范围？

Question

我正在学习编程入门课程（java），我很想理解为什么java中原始数据类型的范围是原样的。当涉及到像一个字节这样的类整数数据类型时，似乎很容易理解为什么它只接受从-128到127的值；一个字节的大小是8位，最多可以取256个值，所以我们可以给这256个值中的每一个赋一个自然数，我相信这就是幕后发生的事情。它还解释了为什么128被排除在外：我们有128个负数，127个正数，还有零。这些加起来已经有256个了。在[1256]和[-128128]之间没有双射。

对于所有类整数数据类型的范围，这种想法是有意义的，但是当涉及浮点时，人们会看到一些奇怪的范围。例如，double的范围是[-2^{1074}，(2-2^{-52}）2^{1023}]。为什么会这样呢？

很抱歉记号太麻烦了，显然我不能在这里使用乳胶。

Answer 1

Java使用IEEE-754 binary64格式。在此格式中，1位代表符号(+或−，根据位是0还是1)，8位用于指数，52位用于有效的初级编码。53位有效数的一位通过指数进行编码。

指数字段的值范围为0到2047。2047保留用于无穷大和nan。0用于次正规数。值1到2046用于正常数字。在此范围内，指数字段值E表示指数E=E-1023。因此e的最低值为1−1023=−1022，最高值为2046−1023=1023。指数字段值0也表示E的最低值，−1022。

53位有效数表示二进制数字d.ddd…ddd₂，其中，如果指数字段为0，第一个d为0，如果指数字段为1到2046，第一个d为1。“.”后面有52位，它们由主要有效字段给出。

• 如果E为1至2046，(−1)^S•2^E−1023•(1+F•2⁻⁵²)，
• 如果E为0，则(−1)^S•2⁻¹⁰²²•(0+F•2⁻⁵²)。

现在我们可以看到，最小的正数是当S为1，E为0，F为则表示的值为(−1)⁰•2⁻¹⁰²²•(0+1•2⁻⁵²)=+1•2⁻¹⁰²²•2⁻⁵²=2⁻¹⁰⁷⁴。

当S为1，E为2046，且F为则表示的值为(−1)⁰•2^2046−1023•(1+(2⁵²-1)•2⁵²=+1•2¹⁰²³•(2¹−2⁵²)=2¹⁰²³•(2¹−2⁵²)=2¹⁰²⁴−2⁹⁷¹。