网格步长（两个相邻机器可表示数字之间的差值

Question

我编写了这样一个代码来寻找网格步长（两个相邻的机器可表示数之间的差，机器ε，最小机器可表示数大于1和1之间的差）。为什么这个程序显示1代表巨大的价值​​关于x，以及如何修正它以显示正确答案？

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    long double x,eps=1.0,a; 
    scanf("%Lg",&x);
    do
    {
        a=eps;
        eps/=2.0;
    }
    while( x+eps>x);
    printf("Grid step: %Le",(long double)a);
    return 0;
}

Answer 1

浮点数表示为符号（1或−1） s、指数e和数字f，在固定的基数中有固定的位数（称为有效位）。以基数b和精度（位数）p表示，用符号s、指数e和数字f_{0，f−1，f−2，f−3，f−4，…f1−p是s•b^e•和（fi•bⁱ）−P}

例如，对于基数2、精度4、符号1、指数1和有效位1.001，表示的数字是1•2¹•1.001₂=2•1⅛ = 2¼ = 9/4 = 2.25.

给定边界内的任何可表示数，下一个更大量级的可表示数是通过将有效位的最低位数加1来获得的。在上述示例中，下一个较大的数字的有效位为1.010，符号和指数相同，因此它将为1•2¹•1.010₂=2•1¼=2½=10/4=2.5。

这意味着，如果一个数x用指数e表示，那么它和下一个更大幅度的可表示数之间的区别是b^eb^1−p=b^{e 1−p}。

数字1用指数0表示，因为1=1•b⁰•1.000…000_b。所以1和下一个可表示数之间的差是b^1−p。如果long double格式的基数为2，精度为64位，则此差值为2¹⁻⁶⁴=2−63，所以所谓的“机器ε”的值应该是2−63。

如果使用二进制格式，则2用指数1表示，因此它与下一个可表示数字之间的差值为b^{e1−p=21−64=2−62}。这些差异被称为ULP，精度最低的单位。

4的ULP为2⁻⁶¹，8的ULP为2⁻⁶⁰，依此类推。对于2⁶³，ULP为2⁶³⁻⁶³=1。

当您输入2⁶⁴或更大的数字时，您的程序无法找到ULP，因为ULP大于1，但是您的程序开始看1并向下工作。

您可以通过在long double格式中从尽可能最大的ULP开始，或者根据x的值，将程序更改为向上或向下运行来修复它。