为什么Rust只使用16位有效数字进行f64相等性检查？

Question

我有以下生锈代码：

use std::f64::consts as f64;

fn main() {
    println!("Checking f64 PI...");
    // f64::PI definition: https://github.com/rust-lang/rust/blob/e1fc9ff4a794fb069d670dded1a66f05c86f3555/library/core/src/num/f64.rs#L240
    println!("Definition: pub const PI: f64 = 3.14159265358979323846264338327950288_f64;");
    println!("Print it:                       {:.35}", f64::PI);
    println!("Different after 16 significant digits ----------|                         ");
    println!("##############################################################################");
    println!("Question 1: Why do the digits differ after 16 significant digits when printed?");
    println!("##############################################################################");

    println!("PERFORM ASSERTIONS..."); 
    assert_eq!(f64::PI, 3.14159265358979323846264338327950288_f64); // 36 significant digits definition
    assert_eq!(f64::PI, 3.141592653589793_f64); // 16 significant digits (less then the 36 in definition)
    // compares up to here -------------|
    assert_eq!(f64::PI, 3.14159265358979300000000000000000000_f64); // 36 significant digits (16 used in equality comparison)
    assert_ne!(f64::PI, 3.14159265358979_f64); // 15 significant digits (not equal)

    println!("PERFORM EQUALITY CHECK..."); 
    if 3.14159265358979323846264338327950288_f64 == 3.14159265358979300000000000000000000_f64 {
        println!("BAD: floats considered equal even when they differ past 16 significant digits");
        println!("######################################################################");
        println!("Question 2: Why does equality checking use only 16 significant digits?");
        println!("They are defined using 36 significant digits so why can't we perform");
        println!("an equality check with this accuracy?");
        println!("######################################################################");
    } else {
        println!("GOOD: floats considered different when they differ past 16 significant digits");
        println!("NOTE: This block won't execute :(");
    }
}

我知道浮点运算可能很棘手，但我想知道这些技巧是否也会影响f64的打印和执行相等性检查。以下是上述代码的输出：

Checking f64 PI...
Definition: pub const PI: f64 = 3.14159265358979323846264338327950288_f64;
Print it:                       3.14159265358979311599796346854418516
Different after 16 significant digits ----------|                         
##############################################################################
Question 1: Why do the digits differ after 16 significant digits when printed?
##############################################################################
PERFORM ASSERTIONS...
PERFORM EQUALITY CHECK...
BAD: floats considered equal even when they differ past 16 significant digits
######################################################################
Question 2: Why does equality checking use only 16 significant digits?
They are defined using 36 significant digits so why can't we perform
an equality check with this accuracy?
######################################################################

Answer 1

您首先假设传递所有这些双字面值3.14159265358979323846264338327950288_f64，3.141592653589793_f64或3.14159265358979_f64实际上会将这些精确值分配给变量。这种假设是不正确的。

尽管rust源代码的作者使用数学常数的前36位实际数字来定义f64:：PI，但使用IEEE 754浮点格式存储的实际64位值是不同的。根据在线转换器，最接近的IEEE 754 64位浮点值将是0x400921FB542D18，当转换回十进制时，可以使用数字3.1415926535897931159979634685进行近似。当您将IEEE 754值0x400921FB5442D18转换为十进制数时，会得到相同的值。

换句话说：

What we wanted to store: 3.14159265358979323846264338327950288 
What is actually stored: 3.14159265358979311599796346854...

也许更简单的可视化方法是想象一个虚构的数据类型，它可以存储从0到1的正实数，并在内部使用字符串（一个字符数组）表示，最大长度为12个字符。所以，你使用这个奇怪的96位类型，创建5个变量：

strdouble A = 0.333333;       // internally stored as x = { .raw = "0.333333000" }
strdouble B = 0.333333333;    // internally stored as x = { .raw = "0.333333333" }
strdouble C = 0.333333333333; // internally stored as x = { .raw = "0.333333333" }
strdouble D = 0.333333333444; // internally stored as x = { .raw = "0.333333333" }
strdouble E = 0.333333333555; // internally stored as x = { .raw = "0.333333334" }

您可以看到B、C和D将是相等的，尽管传递给编译器的文字值是完全不同的。您还可以看到算术（1/3 1/3 1/3)返回0.999999999而不是1，因为根本没有方法来表示最后一个原始数字以外的任何精度。

Answer 2

顾名思义，f64以64位存储。在这种固定数量的存储中，我们只能对固定数量的数字进行编码（具体来说，其中52位专用于有效位）。如果在浮点文本中使用更多数字，则存储在f64变量中的数字将被舍入到可用位数表示的最接近的数字。对于f64这意味着我们总是可以精确地表示15位十进制数字，有时是16位。这就解释了为什么有时候，即使在源代码中使用了不同的浮点文字，数字仍然是相等的：这是因为在四舍五入到最接近的可表示数字后，它们是相同的。

打印不同数字的原因是相同的。存储时，数字四舍五入到最接近的可表示数字，打印时再次转换回十进制。额外的数字源于二进制到十进制的转换，但小数点后15或16位的数字基本上是没有意义的——它们不携带任何有关所表示数字的额外信息。

请注意，这些都不是铁锈特有的。大多数现代编程语言使用IEEE 754-1985标准来表示浮点数，因此它们的行为相同。如果你想要任意精度的算法，你通常需要使用一些库，例如地毯板条箱。