求整数分区的字典顺序

Question

对于排列，给定N和k，我有一个函数，可以按字典顺序查找kth排列N。另外，给定一个排列perm，我有一个函数，可以在N的所有排列中找到该排列的词典索引。为此，我使用了这个答案中建议的“阶乘分解”。

现在我想对N的整数分区做同样的事情。例如，对于N=7，我希望能够在索引（左）和分区（右）之间来回：

 0 ( 7 )
 1 ( 6 1 )
 2 ( 5 2 )
 3 ( 5 1 1 )
 4 ( 4 3 )
 5 ( 4 2 1 )
 6 ( 4 1 1 1 )
 7 ( 3 3 1 )
 8 ( 3 2 2 )
 9 ( 3 2 1 1 )
10 ( 3 1 1 1 1 )
11 ( 2 2 2 1 )
12 ( 2 2 1 1 1 )
13 ( 2 1 1 1 1 1 )
14 ( 1 1 1 1 1 1 1 )

我试过一些方法。我想到的最好的是

sum = 0;
for (int i=0; i<length; ++i)
  sum += part[i]*i;
return sum;

其中给出了以下内容：

 0  0( 7 )
 1  1( 6 1 )
 2  2( 5 2 )
 3  3( 5 1 1 )
 3  4( 4 3 )
 4  5( 4 2 1 )
 6  6( 4 1 1 1 )
 5  7( 3 3 1 )
 6  8( 3 2 2 )
 7  9( 3 2 1 1 )
10 10( 3 1 1 1 1 )
 9 11( 2 2 2 1 )
11 12( 2 2 1 1 1 )
15 13( 2 1 1 1 1 1 )
21 14( 1 1 1 1 1 1 1 )

这不太管用，但似乎在正确的轨道上。我之所以想到这一点，是因为它计算了我必须向下移动一个数字的次数（比如6,3,2到6,3,1,1）。不过，我不知道如何修复它，因为我不知道如何解释何时需要重新组合（比如6,3,1,1转到6,2,2）。

Answer 1

#include <stdio.h>

// number of combinations to divide by the number of k below n
int partition(int n, int k){
    int p,i;

    if(n<0) return 0;
    if(n<2 || k==1) return 1;
    for(p=0,i=1;i<=k;i++){
        p+=partition(n-i,i);
    }
    return p;
}

void part_nth_a(int n, int k, int nth){
    if(n==0)return;
    if(n== 1 || n==k && nth == 0){
        printf("%d ", n);
        return ;
    }
    int i, diff;
    for(i=0;i<k;++i){
        diff = partition(n, k-i) - partition(n, k-i-1);
        if(nth < diff){
            printf("%d ", k-i);
            n -= (k-i);
            if(diff == 1)
                part_nth_a(n, k-i, 0);
            else
                part_nth_a(n, k-i, nth);
            return;
        }
        nth -= diff;
    }
}

void part_nth(int n, int nth){
    if(nth == 0){
        printf("%d ", n);
        return ;
    }
    int i, j, numOfPart;
    for(i=1;i<n;++i){
        numOfPart = n-i < i ? partition(i, n-i) : partition(i, i);
        if(nth <= numOfPart)
            break;
        nth -= numOfPart;
    }
    printf("%d ", n-i);
    if(n-i < i)
        part_nth_a(i, n-i, nth-1);
    else
        part_nth_a(i, i, nth-1);
}

int main(){
    int n = 7;
    int i, numOfPart = partition(n, n);
    for(i=0;i<numOfPart;++i){
        printf("%2d ( ", i);
        part_nth(n, i);
        printf(")\n");
    }
    return 0;
}

Answer 2

想想为什么“阶乘分解”适用于置换，同样的逻辑也适用于这里。但是，不要使用k对于k对象的排列数，必须使用分区函数p（n，k）来计算n的分区数，最大部分为k。对于n=7，这些数字是：

k | p(7,k)
0 | 0
1 | 1
2 | 4
3 | 8
4 | 11
5 | 13
6 | 14
7 | 15

例如，要获得（3,2,1,1）的词典索引，您需要计算

p(3+2+1+1) - [ p(3+2+1+1,3-1) + p(2+1+1,2-1) + p(1+1,1-1) + p(1,1-1) ] - 1

这是15-[410]-1=9。这里你计算的是最大部分小于3的7个分区的数量加上最大部分小于2的4个分区的数量加上。。。同样的逻辑可以扭转这种局面。在C中，是（未经测试的！）功能包括：

int
rank(int part[], int size, int length) {
    int r = 0;
    int n = size;
    int k;
    for (int i=0; i<length; ++i) {
        k = part[i];
        r += numPar(n,k-1);
        n -= k;        
    }
    return numPar(size)-r;
}

int
unrank (int n, int size, int part[]) {
    int N = size;
    n = numPar(N)-n-1;

    int length = 0;

    int k,p;
    while (N>0) {
        for (k=0; k<N; ++k) {
            p = numPar(N,k);
            if (p>n) break;
        }
        parts[length++] = k;
        N -= k;
        n -= numPar(N,k-1);
    }
    return length;
}

这里NumPar（int n）应该返回n的分区数，NumPar（int n， int k）应该返回n的分区数，最多k。您可以使用递归关系自己编写这些。