Python中拟合参数分布的匹配矩不准确

Question

那么为什么y分布的矩与x分布的矩不匹配呢？在下面代码的一次运行中，y(0.052)的平均值可能是x(0.01)的5倍，有时甚至是负值

import numpy as np
from scipy.stats import norm

n = 2000
x = norm.rvs(size=n)
y = norm(*norm.fit(x)).rvs(size=n)

for i in [x,y]:
    print("mu={:.4f}, sd={:.4f}".format(np.mean(i), np.std(i)))

Answer 1

那么为什么Y分布的矩与X分布的矩不匹配呢？

它们做到了--或者至少在预期的错误⁽¹⁾中做到了

快速观察是它们都接近标准正态分布；它们的第一个矩都接近于0，第二个矩接近于1。但是，请注意，x是从n(0,1)中采样的，y是从n(mean(x),std(x))中采样的。

import numpy as np
from scipy.stats import norm

n = 200000

for i in range(5):
    x = norm.rvs(size=n, random_state=i)
    y = norm(*norm.fit(x)).rvs(size=n, random_state=i)

    print("Trial {}".format(i))
    for i in [x, y]:
        print("mu={:.4f}, sd={:.4f}".format(np.mean(i), np.std(i)))

Trial 0
mu=0.0033, sd=0.9980
mu=0.0067, sd=0.9960
Trial 1
mu=0.0045, sd=0.9977
mu=0.0089, sd=0.9953
Trial 2
mu=-0.0004, sd=0.9981
mu=-0.0008, sd=0.9963
Trial 3
mu=-0.0019, sd=0.9965
mu=-0.0037, sd=0.9930
Trial 4
mu=-0.0052, sd=0.9992
mu=-0.0104, sd=0.9984

对于较小的样本大小n，我们自然会认为x和y之间存在一些差异，因为我们实际上是从y中提取另一个样本。但是，我们可以观察拟合的参数是如何像预期的那样表现的：

n = 200
for i in range(5):
    x = norm.rvs(size=n, random_state=i)    
    print("Trial {}".format(i))
    print(np.mean(x), np.std(x), norm(*norm.fit(x)).args)

这就产生了

Trial 0
0.07091049314116117 1.0214227686959954 (0.07091049314116117, 1.0214227686959954)
Trial 1
0.1066888148479486 0.9100459829739235 (0.1066888148479486, 0.9100459829739235)
Trial 2
0.012250008696874187 1.0800421002497833 (0.012250008696874187, 1.0800421002497833)
Trial 3
-0.07079063505988327 0.9767123391405987 (-0.07079063505988327, 0.9767123391405987)
Trial 4
0.028540839305884236 0.9537561748836348 (0.028540839305884236, 0.9537561748836348)

⁽¹⁾没有实际计算标准误差，所以如果我错了请纠正我。在Cross Validated上的快速搜索给出了关于标准错误的一个很好的解释。