埃拉托斯特尼筛分与车轮分解

Question

我正在实现一个相当快的质数生成器，我得到了一些不错的结果，在埃拉托斯特尼的筛子上进行了一些优化。特别是，在算法的初步部分，我以这种方式跳过2和3的所有倍数：

template<class Sieve, class SizeT>
void PrimeGenerator<Sieve, SizeT>::factorize()
{
    SizeT c = 2;
    m_sieve[2] = 1;
    m_sieve[3] = 1;

    for (SizeT i=5; i<m_size; i += c, c = 6 - c)
        m_sieve[i] = 1;
}

这里m_sieve是一个根据埃拉托色尼筛的布尔数组。我认为这是一种只考虑质数2和3的轮式因式分解，按照模式2、4、2、4递增。.

我想做的是实现一个更大的轮子，也许考虑素数2，3和5。

我已经阅读了很多关于它的文档，但我没有看到任何使用埃拉托斯特尼筛子的实现......示例代码可以有很大帮助，但也有一些提示会很好:)谢谢。

Answer 1

2*3*5=30
辐条=2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,30
辐条之间的数字：1,7,11,13,17,19,23,25,29

int[] gaps = [6,4,2,4,2,4,2,4];
int[] primes = [2,3,5];
int max = 9001;
int counter, max_visited;
while(max_visited < max) {
  int jump = gaps[counter];
  counter = counter + 1 % gaps.length;
  max_visited += jump;
}

有帮助吗？

或者，这可能是您想要的，而是伪代码：

primes = [2,3,5];
product = multiply(primes);//imaginary function that returns 30
wheel = new int[product];
foreach(prime in primes)
  for(int x = 1; x <= product/prime; x++)
    wheel[prime*x] = 1;
return wheel

Answer 2

为IBM工作的澳大利亚数学家Paul Pritchard在20世纪80年代开发了一系列轮筛。我在我的博客上讨论了其中一个，包括手工制作的例子和Scheme中的一个实现。这里讨论太大了。你应该知道，虽然渐近复杂度小于厄拉多塞筛，但实现细节通常会使它在实践中更慢。

Answer 3

你可以走得更远。这是我几年前写的一些OCaml代码：

let eratosthene borne =
  let remove_multiples a lst =
    let rec remmult multa li accu = function
        []         -> rev accu
      | head::tail ->
          if multa = head
          then remmult (a*(hd li)) (tl li)  accu      tail
          else remmult   multa        li (head::accu) tail
    in
    remmult (a * a) lst [] lst
  in
  let rec first_primes accu ll =
    let a = hd ll in 
    if a * a > borne then (rev accu) @ ll 
    else first_primes (a::accu) (remove_multiples a (tl ll))
  in
  let start_list =
(* Hard code of the differences of consecutive numbers that are prime*)
(* with 2 3 5 7 starting with 11... *) 
    let rec lrec = 2 :: 4 :: 2 :: 4 :: 6 :: 2 :: 6 :: 4 :: 2 :: 4 :: 6
      :: 6 :: 2 :: 6 :: 4 :: 2 :: 6 :: 4 :: 6 :: 8 :: 4 :: 2 :: 4 :: 2
      :: 4 :: 8 :: 6 :: 4 :: 6 :: 2 :: 4 :: 6 :: 2 :: 6 :: 6 :: 4 :: 2
      :: 4 :: 6 :: 2 :: 6 :: 4 :: 2 :: 4 :: 2 :: 10 :: 2 :: 10 :: lrec 
    and listPrime2357 a llrec accu =
      if a > borne then rev accu
      else listPrime2357 (a + (num (hd llrec))) (tl llrec) (a::accu)
    in
    listPrime2357 (num 11) lrec []
  in
  first_primes [(num 7);(num 5);(num 3);(num 2)] start_list;;

请注意OCaml允许循环链表的好技巧。