Python根函数的精度

Question

我试图用Python中的多项式根来近似Julia集合。特别是，我想找出多项式q（z）=z^2-0.5的第n次迭代的根。换句话说，我想找到n次组成的q（q（q））的根。为了得到许多采样点，我需要计算次多项式的根

我尝试过使用numpy的内置多项式类(它有一个根函数)和sympy的函数解算器来解决这个问题。在第一种情况下，当我选择大于100的度数时，精度会损失。复杂的计算需要很长时间。以下是我的代码:

p = P([-0.5,0,1])
for k in range(9):
    p = p**2-0.5
roots = p.roots()
plt.plot([np.real(r) for r in roots], [np.imag(r) for r in roots],'x')
plt.show()

abs_vector = [np.abs(p(r)) for r in roots]
max = 0
for a in abs_vector:
    if a > max:
        max = a
print(max)

上面的最大值在假设的根处给出了p的最大值。但是运行此代码会给我7.881370400084486e 296，它非常大。

如何在短时间内以良好的精度计算高次多项式的根？

Answer 1

对于多项式< code>q的n次合成，可以迭代重建根

q = [1,0,-0.5]
n = 9

def q_preimage(w):
    c = q.copy()
    c[-1] -= w
    return np.roots(c)
rts = [0]
for k in range(n):
    rts = np.concatenate([q_preimage(w) for w in rts])

哪个返回

array([ 1.36444432e+00+0.00095319j, -1.36444432e+00-0.00095319j,
        1.40104860e-03-0.92828301j, -1.40104860e-03+0.92828301j,
        8.82183775e-01-0.52384727j, -8.82183775e-01+0.52384727j,
        8.78972436e-01+0.52576116j, -8.78972436e-01-0.52576116j,
        1.19545693e+00-0.21647154j, -1.19545693e+00+0.21647154j,
        3.61362916e-01+0.71612883j, -3.61362916e-01-0.71612883j,
        1.19225541e+00+0.21925381j, -1.19225541e+00-0.21925381j,
        3.66786415e-01-0.71269419j, -3.66786415e-01+0.71269419j,
...

或绘制

plt.plot(rts.real, rts.imag,'ob', ms=2); plt.grid(); plt.show()