从法线向量给定的平面到XY平面的映射坐标

Question

因此，我有此算法来计算法线向量给定的3D形状的横截面。

但是，我当前的问题是，该横截面是一组3D点（都位于给定平面上），并且要显示该剖面，我需要将此坐标映射到XY平面。

如果平面法线是（0,0，c）之类的东西，这将是完美的-我只是复制x和y坐标而放弃z。

这是我的问题：由于我不知道如何转换其他平原，有人可以给我任何有关我现在应该做什么的提示吗？

Answer 1

您的窗格由法线矢量定义

n=(xn,yn,zn)

为了进行协调转换，我们需要2个基本向量和一个零点的窗格

基本向量

我们选择了那些“自然”适合x / y窗格的样式（有关边缘情况，请参阅下文）：

b1=(1,0,zb1)
b2=(0,1,zb2)

我们想要

b1 x b2 = n*c （c const标量）

确保这两个是真正的基础

现在解决这个问题：

b1 x b2= (0*zb2-zb1*1,zb1*0-1*zb2,1*1-0*0) = (zb1,zb2,1)
zb1*c=xn
zb2*c=yn
1*c=zn

c=zn,
zb2=yn/c=yn/zn
zb1=xn/c=xn/zn

b1=(1,0,yn/zn)
b2=(0,1,xn/zn)

并将其标准化

bv1=(1,0,yn/zn)*sqrt(1+(yn/zn*yn/zn))
bv2=(0,1,yn/zn)*sqrt(1+(xn/zn*xn/zn))

边缘情况是，当zn = 0时：在这种情况下，法线向量与x /
y窗格平行，并且不存在自然的基本向量，因此，您必须通过美观的POV选择基本的b1和b2向量并通过相同的解决方案过程，或者只是选择了bv1和bv2。

零点

您在OQ中没有提到窗格的锚点，但是有必要将窗格与无限个并行窗格族区分开来。

如果锚点为（0,0,0），则这是坐标转换的理想锚点，并且窗格具有

x*xn+y*yn+z*zn=0,
(y0,y0,z0)=(0,0,0)

如果没有，我假设您的锚点为（xa，ya，za），并且窗格具有

x*xn+y*yn+z*zn=d

与d const标量。自然的拟合将是窗格的点，它是由原始零点在窗格上的法线投影定义的：

P0=(x0,y0,z0)

与

(x0, y0, z0) = c * (xn,yn,zn)

解决这个问题

x*xn+y*yn+z*zn=d

给

c*xn*xn+c*yn*yn+c*zn*zn=d

和

c=d/(xn*xn+yn*yn+zn*zn)

从而

P0=(x0,y0,z0)=c*(xn,yn,zn)

被发现。

最终转型

通过将窗格的每个点（即要显示的那些点）表示为

P0+x'*bv1+y'*bv2

其中x’和y’为新坐标。既然我们知道P0，bv1和bv2，这是微不足道的。如果不是边缘情况，则bv1.y和bv2.x中的值为零，从而进一步减少了问题。

x’和y’是您想要的新坐标。