如何对多项式进行变量的复杂更改（在Mathematica中）

Question

我在四个变量（w，x，y和z）中都有一个整数多项式，我知道可以在这六个变量中将其写为整数多项式：

• a = wz
• b = xy
• c = w ^ 3 + z ^ 3
• d = x + y
• e = w ^ 3 x + yz ^ 3
• f = w ^ 3 y + xz ^ 3

如何使用Mathematica（或Java）轻松进行变量更改？

Answer 1

对于有利于使用af而不是wz的可变顺序，可以通过形成替换多项式的Groebner基来完成这种重写。然后使用PolynomialReduce相对于相同顺序重写多项式。

这是一个例子。我将从替换规则开始，以便构造一个多项式，以便我们知道预期的结果。

reprules = {a -> w*z, b -> x*y, c -> (w^3 + z^3), 
 d -> (x + y), e -> (w^3*x + y*z^3), f -> (w^3*y + x*z^3)};

现在重铸为多项式关系。

reppolys = Apply[Subtract, reprules, 1];

在这里，我们创建一个示例。

poly = 
 a^2*b + 3*b^2*c^3 - 2*d*e*f + 11*b*f^2 - 5 a*d^2*e /. reprules // Expand

Out[11]= -2*w^6*x^2*y - 2*w^6*x*y^2 + 3*w^9*x^2*y^2 + 11*w^6*x*y^3 - 
  5*w^4*x^3*z - 10*w^4*x^2*y*z - 5*w^4*x*y^2*z + w^2*x*y*z^2 - 2*w^3*x^3*z^3 - 
  2*w^3*x^2*y*z^3 - 2*w^3*x*y^2*z^3 + 22*w^3*x^2*y^2*z^3 + 9*w^6*x^2*y^2*z^3 - 
  2*w^3*y^3*z^3 - 5*w*x^2*y*z^4 - 10*w*x*y^2*z^4 - 5*w*y^3*z^4 -
  2*x^2*y*z^6 + 11*x^3*y*z^6 - 2*x*y^2*z^6 + 9*w^3*x^2*y^2*z^6 + 3*x^2*y^2*z^9

形成上面提到的Groebner基础。

gb = GroebnerBasis[reppolys, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}];

用它来减少我们的投入以恢复预期的结果。

PolynomialReduce[poly, 
  gb, {w, x, y, z, a, b, c, d, e, f}][[2]]

Out[12]= a^2*b + 3*b^2*c^3 - 5*a*d^2*e - 2*d*e*f + 11*b*f^2

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注释询问有关Groebner基地的描述。对于我自己对Mathematica功能的理解，有一篇关于TMJ的老文章。可以在找到

http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2179/

在与该主题相关的更好的书籍中，有UTM系列文字

Cox，Lottle和O’Shea的理想，综艺和算法。

Adams和Loustaunau（AMS）对Gröbner基地的介绍也相当不错。

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丹尼尔·里奇布劳