非偏向返回n个随机正数（> = 0）的列表，以便它们的和== total_sum

Question

我正在寻找算法或建议来改进我的代码，以生成其总和等于任意数的随机数列表。在下面的代码中，由于第一个数字往往会更高，因此总是会有偏差。

有没有一种方法可以使数字选择更加有效？

#!/usr/bin/python
'''
  Generate a list of 'numbs' positive random numbers whose sum = 'limit_sum'
'''

import random


def gen_list(numbs, limit_sum):
  my_sum = []
  for index in range(0, numbs):
    if index == numbs - 1:
      my_sum.append(limit_sum - sum(my_sum))
    else:
      my_sum.append(random.uniform(0, limit_sum - sum(my_sum)))

  return my_sum

#test
import pprint
pprint.pprint(gen_list(5, 20))
pprint.pprint(gen_list(10, 200))
pprint.pprint(gen_list(0, 30))
pprint.pprint(gen_list(1, 10))

输出

## output

[0.10845093828525609,
 16.324799712999706,
 0.08200162072303821,
 3.4534885160590041,
 0.031259211932997744]

[133.19609626532952,
 47.464880208741029,
 8.556082341110228,
 5.7817325913462323,
 4.6342577008233716,
 0.22532341156764768,
 0.0027495225618908918,
 0.064738336208217895,
 0.028888697891734455,
 0.045250924420116689]

[]

[10]

Answer 1

好吧，假设要求是生成长度为N的随机向量，该向量 均匀地分布 在允许的空间内，我们将解决该问题，具体如下：

给定

• 所需的长度L
• 所需的总和S
• 每个标量值的允许值范围[0，B]，

生成长度为N的随机向量V，以使随机变量V在其允许空间内均匀分布。

我们可以通过注意到可以计算V = U * S来简化问题，其中U是具有所需总和1的相似随机向量，并且允许范围[0，b]在其中b = B / S。值b必须在1
/ N和1之间。

首先考虑N =3。允许值{U}的空间是垂直于矢量[1 1 1]的平面的一部分，该平面穿过点[1/3 1/3
1/3]，位于矢量的内部。分量在0到b之间的多维数据集。这组点{U}的形状像六边形。

（TBD：图片。我现在无法生成一个图像，我需要访问MATLAB或另一个可以进行3D绘图的程序。我无法安装Octave。）

最好使用一个向量= [1 1 1] / sqrt（3）的正交加权矩阵W（请参阅我的其他答案）。一种这样的矩阵是

octave-3.2.3:1> A=1/sqrt(3)
   A =  0.57735
octave-3.2.3:2> K=1/sqrt(3)/(sqrt(3)-1)
   K =  0.78868
octave-3.2.3:3> W = [A A A; A 1-K -K; A -K 1-K]
   W =

     0.57735   0.57735   0.57735
     0.57735   0.21132  -0.78868
     0.57735  -0.78868   0.21132

再次是正交的（W * W = I）

如果考虑立方体[0 0 b]，[0 bb]，[0 b 0]，[bb 0]，[b 0 0]和[b 0 b]的点，它们形成一个六边形并且都是a b * sqrt（2/3）与立方体对角线的距离。这些不能满足所讨论的问题，但是在一分钟内很有用。另外两个点[0 0 0]和[bbb]在立方体的对角线上。

正交加权矩阵W允许我们生成在{U}内均匀分布的点，这是因为正交矩阵是旋转/反射且不缩放或不倾斜的坐标变换。

我们将生成在W的3个向量定义的坐标系中均匀分布的点。第一个分量是立方体对角线的轴。U分量的总和完全取决于此轴，而不完全取决于其他轴。因此，沿该轴的坐标被强制为1
/ sqrt（3），它对应于点[1 / 3、1 / 3、1 / 3]。

其他两个分量的方向垂直于立方体的对角线。由于距对角线的最大距离为b * sqrt（2/3），因此我们将在-b * sqrt（2/3）和+ b * sqrt（2/3）之间生成均匀分布的数字（u，v）。

这给了我们一个随机变量U’= [1 / sqrt（3）uv]。然后，我们计算U =
U’*W。某些结果点将超出允许范围（U的每个分量必须在0到b之间），在这种情况下，我们将拒绝并重新开始。

换一种说法：

1. 生成独立的随机变量u和v，它们分别均匀分布在-b * sqrt（2/3）和+ b * sqrt（3）之间。
2. 计算向量U’= [1 / sqrt（3）uv]
3. 计算U = U’* W.
4. 如果U的任何一个分量不在[0，b]范围内，则拒绝该值并返回步骤1。
5. 计算V = U *S。

对于更高的尺寸（在与超立方体的主对角线垂直的超平面的一部分内均匀分布的点），解决方案相似：

预先计算等级N的加权矩阵W。

1. 生成独立的随机变量u 1，u 2，…，u N-1，每个变量均均匀地分布在-b * k（N）和+ b * k（N）之间。
2. 计算向量U’= [1 / N u 1，u 2，… u N-1 ]
3. 计算U = U’*W。（实际上是构造和乘以W的捷径。）
4. 如果U的任何一个分量不在[0，b]范围内，则拒绝该值并返回步骤1。
5. 计算V = U *S。

范围k（N）是N的函数，N表示侧面1的超立方体的顶点与其主对角线之间的最大距离。我不确定通用公式，但是对于N = 3是sqrt（2/3），对于N =
5是sqrt（6/5），可能在某个地方有一个公式。