triangle

Tags: leetcode, 算法

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1. 题目说明

Given a triangle, find the minimum path sum from top to bottom. Each step you may move to adjacent numbers on the row below.

For example, given the following triangle
[
[2],
[3,4],
[6,5,7],
[4,1,8,3]
]

The minimum path sum from top to bottom is 11 (i.e., 2 + 3 + 5 + 1 = 11).

Note:

Bonus point if you are able to do this using only O(n) extra space, where n is the total number of rows in the triangle.

2. 题目分析

所谓“adjacent”，即某个数triangle[i][j]与其下一行的数triangle[i +１][j]和triangle[i +１][j＋1]为邻接，因为它们恰好可构成“三角形”。

3. 题目解答

解法一：

从下标为1的行开始，对每行的每个元素 triangle[i][j]，考虑将triangle[i][j]的值改为triangle[i][j] + min{triangle[i - 1][j - 1], triangle[i - 1][j]}（注意考虑本行第0列和最后一列的情况），
即将其值改为从triangle[0][0]到它的最小路径和，再利用这一行的值（可看做部分子问题的解），递推地求出下一行的最优每个元素的最小路径。因此，最终的解应该在处理完最后一行之后，在最后一行找到。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        int ret = 0;
        if (triangle.empty()) return ret;
        for (int i = 1; i < triangle.size(); ++i) {
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); ++j) {
                if (j == 0)
                    triangle[i][j] += triangle[i - 1][j];
                else if (j == triangle[i].size() - 1)
                    triangle[i][j] += triangle[i - 1][j - 1];
                else
                    triangle[i][j] += min(triangle[i - 1][j - 1], triangle[i  -1][j]);
            }
        }
        ret = triangle[triangle.size() - 1][0];
        for (int j = 1; j < triangle[triangle.size() - 1].size(); ++j)
            ret = min(ret, triangle[triangle.size() - 1][j]);
        return ret;
    }
};

该解法的缺陷是更改了原输入。

解法二：

可以考虑更改解法一，使在不更改原输入的情况下求解，那么就需要额外的空间了，比如，可用一个数组（数组长度为输入的最后一组数据的长度）v，v[0] = triangle[0][0]，对于第0行之后的每一行的每一个元素，考虑v[j] = triangle[i][j] + min{ v[j - 1], v[j] }, 由递推式可见，每次还需要先暂存v[j]，然后才能使用递推式，既要暂存v[j - 1] 又要暂存v[j], 并要在适当时候更改之，且要考虑本行第0列和最后一列的情况，所以略显麻烦。

但可以用倒递推的方式，先用一数组dp暂存triangle的最后一行，然后从倒数第二行开始，考虑dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j + 1])，易见此法代码实现简易。

class Solution {
public:
    int minimumTotal(vector<vector<int>>& triangle) {
        if (triangle.empty()) return 0;
        vector<int> dp = triangle.back();
        for (int i = triangle.size() - 2; i >= 0; --i) {
            for (int j = 0; j < triangle[i].size(); ++j) {
                dp[j] = triangle[i][j] + min(dp[j], dp[j + 1]);
            }
        }
        return dp[0];
    }
};