谓词演算

谓词演算处理谓词，谓词包含变量。

谓词

谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。通过给变量赋值或量化变量，可以使带有变量的谓词成为命题。

请请看以下语句。

• 拉姆是学生。

现在根据谓词演算来考虑以上陈述。

• 这里“是学生”是谓词，Ram是主题。

• 让我们将“ Ram”表示为x，将“是学生”表示为谓词P，然后可以将上述语句写为P(x)。

• 通常，由谓词表示的语句必须具有至少一个与谓词关联的对象。在我们的例子中，Ram是与谓词P关联的必需对象。

报表功能

之前我们将“ Ram”表示为x，将“ is a student”表示为谓词P，然后将语句表示为P(x)。这里的P(x)是一个语句函数，如果我们用主题说Sunil替换x，那么我们将得到一个语句“ Sunil是学生”。

因此，语句函数是具有谓词符号和一个或多个变量的表达式。当我们用对象替换变量时，该语句函数给出一条语句。这种替换称为语句函数的替换实例。

量词

谓词变量由量词量化。谓词逻辑中的量词有两种-通用量词和存在量词。

通用量词

通用量词指出，其范围内的语句对于特定变量的每个值都是正确的。用符号∀表示。

∀x P(x)读为x的每个值，P(x)为true。

示例-“人是凡人”可以转换为命题形式∀x P(x)，其中P(x)是谓词，表示x是凡人，而∀x表示所有人。

存在量词

存在量词指出其范围内的语句对于特定变量的某些值是正确的。用符号∃表示。

∃x P(x)被读取，对于某些x值，P(x)为真。

示例-“某些人不诚实”可以转换为命题形式∃x P(x)，其中P(x)是谓词，表示x是不诚实的，and x代表某些不诚实的人。

谓词公式

考虑具有n个变量的谓词P作为P（x ₁，x ₂，x ₃，...，x _n）。这里P是n位谓词，x ₁，x ₂，x ₃，...，x _n是n个个体变量。此n位谓词称为谓词演算的原子公式。例如：P()，Q(x,y)，R(x,y,z)

格式正确的公式

格式正确的公式(wff)是包含以下任一条件的谓词-

• 所有命题常数和命题变量都是wffs

• 如果x是变量并且Y是wff，则∀x Y和∀x Y也是wff

• 真值和假值都是wffs

• 每个原子公式都是wff

• 所有连接wff的连接词都是wff

自由和绑定变量

考虑一个谓词公式，该公式的一部分为(x)P(x)的（∃x）P(x)形式，则该部分称为公式的x绑定部分。x绑定部分中x的任何出现都称为绑定出现，非x绑定中的x的任何出现都称为自由出现。请参阅以下示例-

• （∃x）（P(x)∧Q(x)）

• （∃x）P(x)∧Q(x)

在第一个示例中，（∃x）的范围是（P(x)∧Q(x)），并且x的所有出现都是绑定出现。而在第二个示例中，(x)的范围是P(x)，而Q(x)中x的最后一次出现是自由出现。

话语宇宙

我们可以限制陈述中使用的个人/对象的类别。这里的限制意味着将输入变量限制为一组特定的个人/对象。这样的限制类被称为话语宇宙/个人或宇宙的领域。请参阅以下示例：

有些猫是黑色的。

• C(x)：x是猫。

• B(x)：x为黑色。

• （∃x）（C(x)∧B(x)）

如果话语宇宙是E = {Katy，Mille}，其中katy和Mille是白猫，那么当我们用Katy或Mille替换x时，我们的第三个陈述是假的，好像话语宇宙是E = {Jene，Jackie}，其中Jene和杰基黑猫，那么我们的第三个陈述对于话语F宇宙是正确的。